(a) Esboce a curva utilizando as equações paramétricas para traçar os pontos. Indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada conforme t aumenta.
(b) Elimine o parâmetro para encontrar a equação cartesiana da curva.
x=2 t-1, y=t^2-1

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica
x = 2t – 1,
y = t² – 1
precisamos (a) esboçar esse traçado indicando a direção conforme t aumenta e (b) eliminar o parâmetro para achar a forma cartesiana. O conteúdo é curvas paramétricas e eliminação de parâmetro.

Passo 2

Para esboçar a curva, escolhemos alguns valores de t e calculamos x e y:
– Para t = –2: x = 2(–2) – 1 = –5, y = (–2)² – 1 = 3
– Para t = –1: x = 2(–1) – 1 = –3, y = (–1)² – 1 = 0
– Para t = 0: x = 2·0 – 1 = –1, y = 0² – 1 = –1
– Para t = 1: x = 2·1 – 1 = 1, y = 1² – 1 = 0
– Para t = 2: x = 2·2 – 1 = 3, y = 2² – 1 = 3
Plotamos esses pontos no plano e desenhamos uma curva suave que passa por eles, e colocamos uma seta seguindo a ordem (–5,3) → (–3,0) → (–1,–1) → (1,0) → (3,3) para indicar o sentido crescente de t.

Passo 3

Observando esses pontos, percebemos que a curva é uma parábola que abre para cima e tem vértice no ponto onde t = 0, isto é, (–1,–1). Conforme t aumenta, o ponto desce até o vértice e depois sobe à direita.

Passo 4

Para eliminar o parâmetro, isolamos t em x:
t = x + 12
e substituímos em y:
y = l(x + 12r)^2 - 1 = (x + 1)^24 - 1

Resposta

(a) A curva é uma parábola com vértice em (–1,–1) que abre para cima. A seta de direção segue do ponto (–5,3) para (–3,0), depois ao vértice (–1,–1) e segue até (3,3) conforme t aumenta.
(b) A equação cartesiana da curva é:
y = (x + 1)^24 - 1

Exercícios relacionados