Determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação das regiões indicadas, ao redor dos eixos dados: y=x+x^2, y=x^2-1, e x=0 ao redor do eixo y=2.

Passo 1

Aqui a gente quer achar o volume do sólido obtido ao girar em torno de y=2 a região limitada por y₁=x+x², y₂=x²−1 e x=0. O conteúdo é método dos discos (ou anéis); vamos precisar achar os pontos de interseção, expressar os raios externo e interno em função de x e montar a integral.

Passo 2

Para encontrar onde y₁ e y₂ se cruzam, resolvemos x+x² = x²−1. Simplificando sobra x=−1. Então a região em x vai de x=−1 até x=0 (limite dado por x=0), e para cada x o trecho vertical vai de y₂(x)=x²−1 até y₁(x)=x+x².

Passo 3

Como o eixo de rotação é horizontal (y=2), usamos fatias verticais em x e formamos anéis. A distância do eixo até o ponto mais afastado (raio externo) é Rₒ(x)=2−y₂(x)=2−(x²−1)=3−x². E o raio interno é Rᵢ(x)=2−y₁(x)=2−(x+x²)=2−x−x².

Passo 4

O volume é dado por
V = integralx=-1^0 pil(Rₒ(x)^2 - Rᵢ(x)^2r),dx = pi integral-1^0l[(3 - x^2)^2 - (2 - x - x^2)^2r],dx

Passo 5

Agora expandimos e integramos:
(3 - x^2)^2 = 9 -6x^2 + x^4,
(2 - x - x^2)^2 = x^4 +2x^3 -3x^2 -4x +4
Subtraindo dá o integrando -2x³ -3x² +4x +5. Assim
V = pi integral-1^0(-2x^3 -3x^2 +4x +5),dx

Passo 6

Integramos termo a termo:
integral(-2x^3)dx=-tfrac12x^4, integral(-3x^2)dx=-x^3, integral4x,dx=2x^2, integral5,dx=5x
Fica a primitiva
F(x) = -tfrac12x^4 -x^3 +2x^2 +5x
Avalia de -1 até 0: F(0)=0, F(-1)=-5/2, logo V=pi[0 -(-5/2)] = tfrac5pi2

Resposta

5pi2

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