Determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação das regiões indicadas, ao redor dos eixos dados:
, e
ao redor do eixo
.
Passo 1
Aqui a gente quer achar o volume do sólido obtido ao girar em torno de y=2 a região limitada por y₁=x+x², y₂=x²−1 e x=0. O conteúdo é método dos discos (ou anéis); vamos precisar achar os pontos de interseção, expressar os raios externo e interno em função de x e montar a integral.
Passo 2
Para encontrar onde y₁ e y₂ se cruzam, resolvemos x+x² = x²−1. Simplificando sobra x=−1. Então a região em x vai de x=−1 até x=0 (limite dado por x=0), e para cada x o trecho vertical vai de y₂(x)=x²−1 até y₁(x)=x+x².
Passo 3
Como o eixo de rotação é horizontal (y=2), usamos fatias verticais em x e formamos anéis. A distância do eixo até o ponto mais afastado (raio externo) é Rₒ(x)=2−y₂(x)=2−(x²−1)=3−x². E o raio interno é Rᵢ(x)=2−y₁(x)=2−(x+x²)=2−x−x².
Passo 4
O volume é dado por
Passo 5
Agora expandimos e integramos:
Subtraindo dá o integrando -2x³ -3x² +4x +5. Assim
Passo 6
Integramos termo a termo:
Fica a primitiva
Avalia de -1 até 0: F(0)=0, F(-1)=-5/2, logo