Determine as derivadas parciais das funçōes:
f(x, y)=tan (2 x-3 y^2+10)^3

Passo 1

Neste exercício a gente precisa achar as derivadas parciais de f(x,y)=tanl((2x-3y^2+10)^3r). O conteúdo é cálculo de derivadas parciais usando a regra da cadeia. Vamos precisar lembrar que:\n1) ddutan(u)=sec^2(u).\n2) ddvv^3=3v^2.\n3) Derivadas de combinações lineares: partialpartial x(2x-3y^2+10)=2 e partialpartial y(2x-3y^2+10)=-6y.

Passo 2

Definimos uma função intermediária g(x,y)=2x-3y^2+10 e então h(g)=g^3. Assim podemos ver f(x,y)=tanl(h(g(x,y))r). Isso deixa claro que vamos aplicar a regra da cadeia em dois níveis: primeiro para tan, depois para o cubo.

Passo 3

Para achar partial fpartial x, escrevemos passo a passo:
  1. Derivada externa: ddhtan(h)=sec^2(h).
  2. Derivada do segundo nível: ddgg^3=3g^2.
  3. Derivada de g em relação a x: partial gpartial x=2.
    Multiplicando tudo pela regra da cadeia, obtemos:
partial fpartial x=sec^2l(g^3r)cdot3g^2cdot2
Substituindo g=2x-3y^2+10 a gente chega em:
partial fpartial x=6(2x-3y^2+10)^2,sec^2l((2x-3y^2+10)^3r)

Passo 4

Para achar partial fpartial y, o procedimento é análogo:
  1. ddhtan(h)=sec^2(h).
  2. ddgg^3=3g^2.
  3. Agora a derivada de g em relação a y é partial gpartial y=-6y.
    Aplicando a cadeia, vem:
partial fpartial y=sec^2l(g^3r)cdot3g^2cdot(-6y)
Substituindo g=2x-3y^2+10, obtemos:
partial fpartial y=-18y(2x-3y^2+10)^2,sec^2l((2x-3y^2+10)^3r)

Resposta

partial fpartial x(x,y)=6,(2x-3y^2+10)^2;sec^2l((2x-3y^2+10)^3r)
partial fpartial y(x,y)=-18y,(2x-3y^2+10)^2;sec^2l((2x-3y^2+10)^3r)

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