Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação das regiões indicadas, ao redor dos eixos dados: y=x^2, x=y^2 ; em torno de x=-1.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar a região limitada por y=x^2 e x=y^2 em torno de x=-1. O conteúdo é sólidos de revolução e vamos usar o método dos discos (washers) com fatias horizontais em y.

Passo 2

Para cada valor de yin[0,1] a região vai de x=y^2 até x=raiz y. Ao girar em torno de x=-1, o raio externo é R(y)=raiz y+1 e o raio interno é r(y)=y^2+1. A espessura da fatia é dy e o volume diferencial é dV=pil[R(y)^2 - r(y)^2r],dy.

Passo 3

Montamos então o integral de volume:
V = pi integral0^1l[(raiz y + 1)^2 - (y^2 + 1)^2r],dy

Passo 4

Expandindo as potências:
(raiz y + 1)^2 = y + 2raiz y + 1,
(y^2 + 1)^2 = y^4 + 2y^2 + 1,
do que o integrando fica
(y + 2raiz y + 1) - (y^4 + 2y^2 + 1) = -y^4 -2y^2 + y + 2raiz y

Passo 5

Agora integramos termo a termo:
integral0^1(-y^4),dy = -15,
integral0^1(-2y^2),dy = -23,
integral0^1y,dy = 12,
integral0^12raiz y,dy = 43

Passo 6

Somando os resultados:
-tfrac15 - tfrac23 + tfrac12 + tfrac43 = 2930

Passo 7

Multiplicando por pi, obtemos o volume do sólido.

Resposta

29pi30

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