Determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação das regiões indicadas ao redor dos eixos dados:
eixo
;
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido girando a região limitada por y=ln x, y=−1, y=2 e x=0 em torno do eixo y. Aqui o conteúdo é Volume de Sólidos de Revolução e vamos usar o método de discos (ou anéis), reescrevendo a fronteira em função de y.
Passo 2
Para aplicar o método de discos, precisamos expressar o raio externo R em função de y. A curva y=ln x equivale a x=e^y. Como a região vai de y=−1 até y=2 e x parte de 0 (eixo y) até e^y, o raio do disco em cada altura y é R(y)=e^y.
Passo 3
A fórmula do volume pelo método de discos diz que:
Substituindo y_1=−1, y_2=2 e R(y)=e^y, temos:
Passo 4
Agora basta calcular a integral de e^{2y}:
então