Determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação das regiões indicadas ao redor dos eixos dados:
y=ln x, y=-1, y=2, x=0( eixo y);

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido girando a região limitada por y=ln x, y=−1, y=2 e x=0 em torno do eixo y. Aqui o conteúdo é Volume de Sólidos de Revolução e vamos usar o método de discos (ou anéis), reescrevendo a fronteira em função de y.

Passo 2

Para aplicar o método de discos, precisamos expressar o raio externo R em função de y. A curva y=ln x equivale a x=e^y. Como a região vai de y=−1 até y=2 e x parte de 0 (eixo y) até e^y, o raio do disco em cada altura y é R(y)=e^y.

Passo 3

A fórmula do volume pelo método de discos diz que:
V = pi integraly1^y2 l[R(y)r]^2 ,dy
Substituindo y_1=−1, y_2=2 e R(y)=e^y, temos:
V = pi integral-1^2 l(e^yr)^2 ,dy = pi integral-1^2 e^2y ,dy

Passo 4

Agora basta calcular a integral de e^{2y}:
integral e^2y ,dy = e^2y2,
então
V = pi [ e^2y2 ]-1^2 = pi2 l(e^4 - e^-2r)

Resposta

V = pi2l(e^4-e^-2r)

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