Determine se as integrais impróprias abaixo divergem ou convergem. Em caso de convergência, determine seus valores:
integral1^infty 1x^43 d x

Passo 1

Então, o que temos é a integral imprópria
integral1^infty 1x^43,dx
O conteúdo aqui é integrais impróprias de potência (os famosos p-integrais). Para resolver, vamos precisar lidar com o limite quando o ponto de integração vai até o infinito e calcular a antiderivada de x^-4/3.

Passo 2

Como o limite superior é infinito, a gente reescreve a integral assim:
integral1^infty x^-43,dx =limbtoinftyintegral1^bx^-43,dx
Primeiro a gente integra de 1 até b, depois vê o que acontece quando b fica gigante.

Passo 3

Existe um teste rápido: para
integral1^inftyx^-pdx,
se p>1 a integral converge; se p<=1, diverge.
Aqui p=tfrac43 e tfrac43>1, então já sabemos que converge.
Agora bora achar mesmo o valor. Lembra que
integral x^n,dx=x^n+1n+1+C(nneq-1)
Tomando n=-tfrac43, temos n+1=-tfrac13. Logo
integral x^-43dx =x^-13-tfrac13 =-3,x^-13+C

Passo 4

Agora avaliamos de 1 até b:
integral1^bx^-43,dx =l[-3,x^-tfrac13r]1^b =-3,b^-tfrac13-(-3cdot1^-tfrac13) =-3,b^-tfrac13+3
Fazendo btoinfty, a parte -3,b^-tfrac13 vira zero, sobrando 3.

Resposta

A integral converge e vale 3.

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