Determine se as integrais impróprias abaixo divergem ou convergem. Em caso de convergência, determine seus valores:
Passo 1
Então, o que temos é a integral imprópria
O conteúdo aqui é integrais impróprias de potência (os famosos p-integrais). Para resolver, vamos precisar lidar com o limite quando o ponto de integração vai até o infinito e calcular a antiderivada de
.
Passo 2
Como o limite superior é infinito, a gente reescreve a integral assim:
Primeiro a gente integra de 1 até
, depois vê o que acontece quando
fica gigante.
Passo 3
Existe um teste rápido: para
,
se a integral converge; se
, diverge.
Aqui e
, então já sabemos que converge.
Agora bora achar mesmo o valor. Lembra que
se
Aqui
Agora bora achar mesmo o valor. Lembra que
Tomando
, temos
. Logo
Passo 4
Agora avaliamos de 1 até
:
Fazendo
, a parte
vira zero, sobrando
.
Resposta
A integral converge e vale
.