Encontrar a área da região limitada pelas curvas dadas:
(1) x=y^{2} e x=4.

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas x=y^2 (uma parábola voltada para a direita) e x=4 (reta vertical). O conteúdo envolve cálculo de área entre curvas no plano, usando integração. Para resolver, precisamos:
  1. Encontrar os pontos de interseção para achar os limites de integração em y.
  2. Expressar a largura da “fatia” em função de y e montar o integral.
  3. Calcular o integral.

Passo 2

Determinar os limites em y fazendo
y^2 = 4
\implies y = \pm 2.
Portanto a região vai de y=-2 até y=2.

Passo 3

Em cada fatia horizontal de espessura dy, a abscissa da curva à direita é x_{\text{direita}}=4 e à esquerda é x_{\text{esquerda}}=y^2. Assim, a largura é 4 - y^2, e a área é
A = \int_{y=-2}^{2} \bigl(4 - y^2\bigr)\,dy.

Passo 4

Calculamos o antiderivado:
\int (4 - y^2)\,dy = 4y - \frac{y^3}{3}.
Avaliar de -2 a 2:
A = \Bigl[\,4y - \frac{y^3}{3}\Bigr]_{-2}^{2} = \Bigl(8 - \tfrac{8}{3}\Bigr) - \Bigl(-8 + \tfrac{8}{3}\Bigr) = \frac{16}{3} - \bigl(-\tfrac{16}{3}\bigr) = \frac{32}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{32}{3}

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