Determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação das regiões indicadas, ao redor dos eixos dados.
e
; ao redor do eixo
Passo 1
O que o enunciado pede e quais são os dados:
- Pede: determinar o volume do sólido obtido ao rotacionar uma região plana em torno do eixo
. - A região é limitada por:
- a curva
, - as retas verticais
e , - e a reta horizontal
.
- a curva
- Observação sobre a posição relativa das curvas (importante para escolher o método): para
em tem-se , ou seja, a parabola está acima da reta . Portanto, a região é o conjunto de pontos com entre e e entre (embaixo) e (em cima). Ao girar essa região em torno de a reta fica como eixo de rotação passando pela “base” da região.
Passo 2
Escolha do método e explicação do conceito (didático, sem pular etapas):
- Método mais direto: discos (ou fatias circulares) obtidos por cortes verticais. Por que? O eixo de rotação é horizontal (
), e se tomarmos uma fatia vertical em (espessura ) essa fatia é um segmento vertical que, ao girar em torno de , gera um disco de raio igual ao comprimento do segmento. - Fórmula do método dos discos (explicada): ao girar um segmento vertical que vai de
até em torno da reta , o raio externo do disco é e o raio interno é . A área da seção transversal (perpendicular ao eixo) é . Integrando essa área ao longo de obtém-se o volume:
- No nosso caso: para cada
o segmento vai de (base, que coincide com o eixo de rotação) até (topo). Assim: -
(distância vertical do eixo até o topo), -
(porque a base está exatamente sobre o eixo de rotação).
-
- Logo a fórmula se simplifica para discos cheios:
Passo 3
Montagem e simplificação da integral (passo a passo nas contas):
- Escrever a integral:
- Fatorar
para simplificar antes de expandir:
então
- Substituindo na integral:
Passo 4
Cálculo do integral indefinido e avaliação entre os limites:
- Primeiro a antiderivada termo a termo:
- Multiplicando pelo
e avaliando de a :
- Calcular no extremo superior
:
Colocando em denominador comum
:
então o valor em
é
- Calcular no extremo inferior
:
Em denominador
:
portanto o valor em
é
- Subtraindo superior menos inferior:
- Multiplicando pelo
: