Determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação das regiões indicadas, ao redor dos eixos dados.
y=2 x^{2}, x=1, x=2 e y=2; ao redor do eixo y=2

Passo 1

O que o enunciado pede e quais são os dados:
  • Pede: determinar o volume do sólido obtido ao rotacionar uma região plana em torno do eixo y=2.
  • A região é limitada por:
    • a curva \,y=2x^{2}\,,
    • as retas verticais \,x=1 e \,x=2,
    • e a reta horizontal \,y=2.
  • Observação sobre a posição relativa das curvas (importante para escolher o método): para x em [1,2] tem-se \,y=2x^{2}\ge 2, ou seja, a parabola está acima da reta \,y=2. Portanto, a região é o conjunto de pontos com x entre 1 e 2 e y entre 2 (embaixo) e 2x^{2} (em cima). Ao girar essa região em torno de \,y=2 a reta \,y=2 fica como eixo de rotação passando pela “base” da região.

Passo 2

Escolha do método e explicação do conceito (didático, sem pular etapas):
  • Método mais direto: discos (ou fatias circulares) obtidos por cortes verticais. Por que? O eixo de rotação é horizontal ( y=2), e se tomarmos uma fatia vertical em x (espessura dx) essa fatia é um segmento vertical que, ao girar em torno de y=2, gera um disco de raio igual ao comprimento do segmento.
  • Fórmula do método dos discos (explicada): ao girar um segmento vertical que vai de y=a(x) até y=b(x) em torno da reta y=y_0, o raio externo do disco é |b(x)-y_0| e o raio interno é |a(x)-y_0|. A área da seção transversal (perpendicular ao eixo) é \pi\big(\text{raio externo}^2-\text{raio interno}^2\big). Integrando essa área ao longo de x obtém-se o volume:
V=\int_{x_1}^{x_2}\pi\big(R_{\text{ext}}(x)^2-R_{\text{int}}(x)^2\big)\,dx.
  • No nosso caso: para cada x\in[1,2] o segmento vai de y=2 (base, que coincide com o eixo de rotação) até y=2x^{2} (topo). Assim:
    • R_{\text{ext}}(x)=2x^{2}-2 (distância vertical do eixo y=2 até o topo),
    • R_{\text{int}}(x)=0 (porque a base está exatamente sobre o eixo de rotação).
  • Logo a fórmula se simplifica para discos cheios:
V=\int_{1}^{2}\pi\big(2x^{2}-2\big)^{2}\,dx.

Passo 3

Montagem e simplificação da integral (passo a passo nas contas):
  • Escrever a integral:
V=\int_{1}^{2}\pi\big(2x^{2}-2\big)^{2}\,dx.
  • Fatorar 2 para simplificar antes de expandir:
2x^{2}-2=2(x^{2}-1),
então
\big(2x^{2}-2\big)^{2}=4(x^{2}-1)^{2}=4\big(x^{4}-2x^{2}+1\big).
  • Substituindo na integral:
V=\int_{1}^{2}\pi\cdot 4\big(x^{4}-2x^{2}+1\big)\,dx =4\pi\int_{1}^{2}\big(x^{4}-2x^{2}+1\big)\,dx.

Passo 4

Cálculo do integral indefinido e avaliação entre os limites:
  • Primeiro a antiderivada termo a termo:
\int\big(x^{4}-2x^{2}+1\big)\,dx=\frac{x^{5}}{5}-\frac{2x^{3}}{3}+x + C.
  • Multiplicando pelo 4\pi e avaliando de 1 a 2:
V=4\pi\left[\frac{x^{5}}{5}-\frac{2x^{3}}{3}+x\right]_{1}^{2}.
  • Calcular no extremo superior x=2:
\frac{2^{5}}{5}-\frac{2\cdot2^{3}}{3}+2 =\frac{32}{5}-\frac{16}{3}+2.
Colocando em denominador comum 15:
\frac{32}{5}=\frac{96}{15},\qquad \frac{16}{3}=\frac{80}{15},\qquad 2=\frac{30}{15},
então o valor em x=2 é
\frac{96-80+30}{15}=\frac{46}{15}.
  • Calcular no extremo inferior x=1:
\frac{1^{5}}{5}-\frac{2\cdot1^{3}}{3}+1=\frac{1}{5}-\frac{2}{3}+1.
Em denominador 15:
\frac{1}{5}=\frac{3}{15},\qquad \frac{2}{3}=\frac{10}{15},\qquad 1=\frac{15}{15},
portanto o valor em x=1 é
\frac{3-10+15}{15}=\frac{8}{15}.
  • Subtraindo superior menos inferior:
\left(\frac{46}{15}\right)-\left(\frac{8}{15}\right)=\frac{38}{15}.
  • Multiplicando pelo 4\pi:
V=4\pi\cdot\frac{38}{15}=\frac{152\pi}{15}.

Resposta

\displaystyle \frac{152\pi}{15}

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