Determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação das regiões indicadas, ao redor dos eixos dados.
e
; ao redor do eixo
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
- O enunciado dá três curvas:
-
. -
. -
.
-
- O sólido é obtido ao rotacionar a região limitada por essas curvas em torno da reta
. - O que é pedido: determinar o volume do sólido de revolução gerado por essa rotação.
Informações importantes que já posso extrair (sem calcular ainda):
- A região está limitada por duas curvas em
e pela reta vertical . Provavelmente o intervalo em será entre as interseções das curvas e a linha . - O eixo de rotação é horizontal (
), então ao usar fatias verticais cada fatia girará formando um anel (lavadora/washer). Vou usar isso mais adiante.
Passo 2
Encontremos as interseções relevantes para saber os limites em
.
- Interseção entre
e . Igualando:
- Cancelando
dos dois lados:
Logo as curvas se intersectam em
. Qual é o ponto em
? Substituindo em qualquer uma:
Então o ponto de interseção é
.
- A reta vertical
forma a outra fronteira. Avaliando as curvas em :
Portanto em
as curvas estão em
e
.
Conclusão dos limites em
: a região está entre
(ponto de interseção) e
(reta vertical dada). Ou seja, vamos integrar em
de
a
.
Passo 3
Identificar qual método de cálculo de volumes usar e justificar (isso é importante para a prova).
Opções comuns:
- Método dos discos/anel (washers): usar fatias perpendiculares ao eixo de rotação; para eixo horizontal, fatias verticais produzem anéis com
. - Método dos cilindros (casca cilíndrica): usar fatias paralelas ao eixo de rotação; para eixo horizontal, fatias horizontais dão cascas com fórmula
.
Escolha: vou usar o método dos anéis (washers) com fatias verticais porque já temos as curvas dadas como
em função de
. Esse método costuma ser mais direto quando as fronteiras superior e inferior são dadas por funções
e
e o eixo é horizontal.
Passo 4
Explicar a fórmula dos anéis e definir as variáveis que usarei.
- Considere uma fatia vertical em
, de espessura , cujos extremos em são e . - Ao girar essa fatia em torno da reta horizontal
, ela gera um anel (uma lavadora) cuja: - raio externo é a distância da reta
até o ponto mais distante da fatia em relação ao eixo (ou seja, até , se o eixo estiver acima da fatia); - raio interno é a distância da reta
até o ponto mais próximo da fatia (ou seja, até ).
- raio externo é a distância da reta
- A área do anel é
e, multiplicando por , obtemos o volume elementar:
Aqui:
-
. -
.
Observação sobre posição do eixo: é importante saber se
está acima ou abaixo da região. Para
ambos
e
são ≤ 0 (veja valores em Passo 2), então
está acima da região. Portanto a distância maior (raio externo) é até a função de menor
(o fundo), e o raio interno é até a função de maior
(o topo). Isso confirma a escolha acima.
Passo 5
Identificar explicitamente
e
e escrever
e
.
- Para
: -
(pois nesse intervalo). -
.
-
- Distâncias ao eixo
:
Ambos são positivos para
, conforme esperado (eixo acima da região).
Passo 6
Montar a integral do volume usando a fórmula dos anéis.
Agora vamos expandir os quadrados passo a passo (não pule etapas):
- Primeiro quadrado:
- Segundo quadrado: calcular
. Expandindo termo a termo:
Isso dá
- Subtraindo:
Agora cancele e combine termos:
Portanto a integral ficou
Passo 7
Integrar o polinômio termo a termo (mostrando antiderivadas):
- Antiderivada de
é . - Antiderivada de
é . - Antiderivada de
é . - Antiderivada de
é .
Juntando:
Assim
Passo 8
Avaliar a primitiva nos limites e calcular o resultado final.
- Avaliando em
:
- Avaliando em
:
Fazendo as somas:
- Diferença
.
Multiplicando por
: