Determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação das regiões indicadas, ao redor dos eixos dados.
y=x+x^{2}, y=x^{2}-1 e x=0; ao redor do eixo y=1

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
  • O enunciado dá três curvas:
    • y = x + x^{2}.
    • y = x^{2} - 1.
    • x = 0.
  • O sólido é obtido ao rotacionar a região limitada por essas curvas em torno da reta y=1.
  • O que é pedido: determinar o volume do sólido de revolução gerado por essa rotação.
Informações importantes que já posso extrair (sem calcular ainda):
  • A região está limitada por duas curvas em y e pela reta vertical x=0. Provavelmente o intervalo em x será entre as interseções das curvas e a linha x=0.
  • O eixo de rotação é horizontal ( y=1), então ao usar fatias verticais cada fatia girará formando um anel (lavadora/washer). Vou usar isso mais adiante.

Passo 2

Encontremos as interseções relevantes para saber os limites em x.
  • Interseção entre y = x + x^{2} e y = x^{2} - 1. Igualando:
x + x^{2} = x^{2} - 1.
  • Cancelando x^{2} dos dois lados:
x = -1.
Logo as curvas se intersectam em x=-1. Qual é o ponto em y? Substituindo em qualquer uma:
y = (-1) + (-1)^{2} = -1 + 1 = 0.
Então o ponto de interseção é (-1,0).
  • A reta vertical x=0 forma a outra fronteira. Avaliando as curvas em x=0:
y_{\text{top}}(0)=0+0^{2}=0,\qquad y_{\text{bottom}}(0)=0^{2}-1=-1.
Portanto em x=0 as curvas estão em y=0 e y=-1.
Conclusão dos limites em x: a região está entre x=-1 (ponto de interseção) e x=0 (reta vertical dada). Ou seja, vamos integrar em x de -1 a 0.

Passo 3

Identificar qual método de cálculo de volumes usar e justificar (isso é importante para a prova).
Opções comuns:
  • Método dos discos/anel (washers): usar fatias perpendiculares ao eixo de rotação; para eixo horizontal, fatias verticais produzem anéis com dV=\pi(R_{\text{out}}^{2}-R_{\text{in}}^{2})\,dx.
  • Método dos cilindros (casca cilíndrica): usar fatias paralelas ao eixo de rotação; para eixo horizontal, fatias horizontais dão cascas com fórmula dV=2\pi(\text{raio})(\text{altura})\,dy.
Escolha: vou usar o método dos anéis (washers) com fatias verticais porque já temos as curvas dadas como y em função de x. Esse método costuma ser mais direto quando as fronteiras superior e inferior são dadas por funções y=f(x) e y=g(x) e o eixo é horizontal.

Passo 4

Explicar a fórmula dos anéis e definir as variáveis que usarei.
  • Considere uma fatia vertical em x, de espessura dx, cujos extremos em y são y_{\text{bottom}}(x) e y_{\text{top}}(x).
  • Ao girar essa fatia em torno da reta horizontal y=1, ela gera um anel (uma lavadora) cuja:
    • raio externo é a distância da reta y=1 até o ponto mais distante da fatia em relação ao eixo (ou seja, até y_{\text{bottom}}(x), se o eixo estiver acima da fatia);
    • raio interno é a distância da reta y=1 até o ponto mais próximo da fatia (ou seja, até y_{\text{top}}(x)).
  • A área do anel é \pi\big(R_{\text{out}}^{2}-R_{\text{in}}^{2}\big) e, multiplicando por dx, obtemos o volume elementar:
dV = \pi\big(R_{\text{out}}^{2}-R_{\text{in}}^{2}\big)\,dx.
Aqui:
  • R_{\text{out}}(x) = \text{distância entre }y=1\text{ e }y_{\text{bottom}}(x)â.
  • R_{\text{in}}(x) = \text{distância entre }y=1\text{ e }y_{\text{top}}(x)â.
Observação sobre posição do eixo: é importante saber se y=1 está acima ou abaixo da região. Para x\in[-1,0] ambos y_{\text{top}} e y_{\text{bottom}} são ≤ 0 (veja valores em Passo 2), então y=1 está acima da região. Portanto a distância maior (raio externo) é até a função de menor y (o fundo), e o raio interno é até a função de maior y (o topo). Isso confirma a escolha acima.

Passo 5

Identificar explicitamente y_{\text{top}}(x) e y_{\text{bottom}}(x) e escrever R_{\text{out}} e R_{\text{in}}.
  • Para -1\le x\le 0:
    • y_{\text{top}}(x)=x + x^{2} (pois x+x^{2}\ge x^{2}-1 nesse intervalo).
    • y_{\text{bottom}}(x)=x^{2}-1.
  • Distâncias ao eixo y=1:
R_{\text{out}}(x)=1 - y_{\text{bottom}}(x)=1 - (x^{2}-1)=2 - x^{2},
R_{\text{in}}(x)=1 - y_{\text{top}}(x)=1 - (x + x^{2})=1 - x - x^{2}.
Ambos são positivos para x\in[-1,0], conforme esperado (eixo acima da região).

Passo 6

Montar a integral do volume usando a fórmula dos anéis.
V = \int_{x=-1}^{0} \pi\big(R_{\text{out}}(x)^{2} - R_{\text{in}}(x)^{2}\big)\,dx = \pi \int_{-1}^{0} \Big[(2 - x^{2})^{2} - (1 - x - x^{2})^{2}\Big]\,dx.
Agora vamos expandir os quadrados passo a passo (não pule etapas):
  • Primeiro quadrado:
(2 - x^{2})^{2} = 4 - 4x^{2} + x^{4}.
  • Segundo quadrado: calcular (1 - x - x^{2})^{2}. Expandindo termo a termo:
(1 - x - x^{2})^{2} = 1^{2} + (-x)^{2} + (-x^{2})^{2} + 2\cdot1\cdot(-x) + 2\cdot1\cdot(-x^{2}) + 2\cdot(-x)\cdot(-x^{2}).
Isso dá
= 1 + x^{2} + x^{4} - 2x - 2x^{2} + 2x^{3} = x^{4} + 2x^{3} - x^{2} - 2x + 1.
  • Subtraindo:
(2 - x^{2})^{2} - (1 - x - x^{2})^{2} = (4 - 4x^{2} + x^{4}) - (x^{4} + 2x^{3} - x^{2} - 2x + 1).
Agora cancele e combine termos:
= 4 - 4x^{2} + x^{4} - x^{4} - 2x^{3} + x^{2} + 2x - 1 = -2x^{3} - 3x^{2} + 2x + 3.
Portanto a integral ficou
V = \pi \int_{-1}^{0} \big(-2x^{3} - 3x^{2} + 2x + 3\big)\,dx.

Passo 7

Integrar o polinômio termo a termo (mostrando antiderivadas):
  • Antiderivada de -2x^{3} é -2\cdot \dfrac{x^{4}}{4} = -\dfrac{1}{2}x^{4}.
  • Antiderivada de -3x^{2} é -3\cdot \dfrac{x^{3}}{3} = -x^{3}.
  • Antiderivada de 2x é 2\cdot \dfrac{x^{2}}{2} = x^{2}.
  • Antiderivada de 3 é 3x.
Juntando:
\text{Antiderivada} = -\dfrac{1}{2}x^{4} - x^{3} + x^{2} + 3x.
Assim
V = \pi\left[ -\dfrac{1}{2}x^{4} - x^{3} + x^{2} + 3x \right]_{x=-1}^{x=0}.

Passo 8

Avaliar a primitiva nos limites e calcular o resultado final.
  • Avaliando em x=0:
-\dfrac{1}{2}(0)^{4} - (0)^{3} + (0)^{2} + 3(0) = 0.
  • Avaliando em x=-1:
-\dfrac{1}{2}(-1)^{4} - (-1)^{3} + (-1)^{2} + 3(-1) = -\dfrac{1}{2} + 1 + 1 - 3.
Fazendo as somas:
-\dfrac{1}{2} + 1 + 1 - 3 = -\dfrac{1}{2} - 1 = -\dfrac{3}{2}.
  • Diferença F(0)-F(-1) = 0 - \big(-\dfrac{3}{2}\big) = \dfrac{3}{2}.
Multiplicando por \pi:
V = \pi \cdot \dfrac{3}{2} = \dfrac{3\pi}{2}.

Resposta

\dfrac{3\pi}{2}

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