Determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação em torno do eixo x, da região R delimitada pelos gráficos das equações dadas:
8.5) y=raiz2 xx^2+1, y=0, e x=2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente quer encontrar o volume de um sólido que surge quando a região R, delimitada pelas curvas , (o eixo x) e , gira em torno do eixo . Isso está no campo do cálculo integral, especificamente usando o método dos discos ou das cascas cilíndricas para volumes de sólidos de rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região que está sendo girada. A curva está acima do eixo e corta . Então, nossa área de interesse vai de até .

Passo 3

Como vamos girar essa região em torno do eixo , o método dos discos é apropriado. Esse método envolve integrar a área de círculos (discos) cuja área é , onde é a função que descreve a curva.

Passo 4

Vamos estabelecer a integral para o volume V = pi integrala^b [f(x)]^2 , dx :
Aqui, e , e .

Passo 5

Substituindo V = pi integral0^2 ( raiz2xx^2 + 1 )^2 dx = pi integral0^2 2x(x^2 + 1)^2 dx na integral:
Isso simplifica para .

Passo 6

Agora, vamos resolver a integral integral duu^2 = -1u + C = -1x^2 + 1 + C . Para isso, fazemos uma substituição simples: deixe , então . Isso torna a integral:

Passo 7

Aplicando os limites de integração de 0 a 2:
[ -1x^2 + 1 ]0^2 = ( -12^2 + 1 ) - ( -10^2 + 1 ) = ( -15 ) - (-1) = 45

Passo 8

Agora, multiplicamos o resultado pela V = pi times 45 = 4pi5 que estava fora da integral:

Resposta

O volume do sólido de revolução é unidades cúbicas.

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