Determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação em torno do eixo
, da região
delimitada pelos gráficos das equações dadas:
8.5)
, e
8.5)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente quer encontrar o volume de um sólido que surge quando a região R, delimitada pelas curvas
,
(o eixo x) e
, gira em torno do eixo
. Isso está no campo do cálculo integral, especificamente usando o método dos discos ou das cascas cilíndricas para volumes de sólidos de rotação.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região que está sendo girada. A curva
está acima do eixo
e corta
. Então, nossa área de interesse vai de
até
.
Passo 3
Como vamos girar essa região em torno do eixo
, o método dos discos é apropriado. Esse método envolve integrar a área de círculos (discos) cuja área é
, onde
é a função que descreve a curva.
Passo 4
Vamos estabelecer a integral para o volume
:
Aqui,
e
, e
.
Passo 5
Substituindo
na integral:
Isso simplifica para
.
Passo 6
Agora, vamos resolver a integral
. Para isso, fazemos uma substituição simples: deixe
, então
. Isso torna a integral:
Passo 7
Aplicando os limites de integração de 0 a 2:
Passo 8
Agora, multiplicamos o resultado pela
que estava fora da integral:
Resposta
O volume do sólido de revolução é
unidades cúbicas.