Encontrar o comprimento de arco das curvas dadas:
11.9)
11.9)
Passo 1
A questão pede o comprimento de arco da curva dada implicitamente por
para
. O conteúdo principal aqui é comprimento de curva em coordenada cartesiana e vamos precisar da fórmula
.
Passo 2
Primeiro isolamos
. Como
, temos
Derivando em relação a
:
Passo 3
Agora aplicamos a fórmula do comprimento de arco:
Passo 4
Dentro da raiz temos:
$$1 + \frac{4x^2}{(1 - x2)2} = \frac{(1 - x2)2 + 4x^2}{(1 - x2)2} = \frac{1 + 2x^2 + x^4}{(1 - x2)2} = \frac{(1 + x2)2}{(1 - x2)2}.
$$
Passo 5
Logo o integrando fica
$$L = \int_{0}^{1/2} \frac{1 + x^2}{1 - x^2},dx.
$$
Passo 6
Para integrar, escrevemos
$$L = \int_{0}^{1/2}\Bigl(-1 + \frac{2}{1 - x^2}\Bigr)dx = \int_{0}^{1/2}(-1)dx + 2\int_{0}^{1/2}\frac{dx}{1 - x^2}.
$$
Passo 7
Sabemos que
. Portanto:
$$L = \Bigl[-x + \ln\frac{1+x}{1-x}\Bigr]_{0}^{1/2} = \Bigl(-\tfrac12 + \ln 3\Bigr) - (0 + 0) = \ln 3 - \tfrac12.
$$