Encontrar o comprimento de arco das curvas dadas:
11.9) e^y=1-x^2, 0 <= x <= 12

Passo 1

A questão pede o comprimento de arco da curva dada implicitamente por e^y = 1 - x^2 para 0 <= x <= tfrac12. O conteúdo principal aqui é comprimento de curva em coordenada cartesiana e vamos precisar da fórmula L = integrala^b raiz1 + l(dydxr)^2,dx.

Passo 2

Primeiro isolamos y. Como e^y = 1 - x^2, temos y = lnl(1 - x^2r) Derivando em relação a x: dydx = ddxln(1 - x^2) = -2x1 - x^2

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula do comprimento de arco:
L = integral0^1/2 raiz1 + l(-2x1 - x^2r)^2,dx = integral0^1/2 raiz1 + 4x^2(1 - x^2)^2,dx

Passo 4

Dentro da raiz temos:
$$1 + \frac{4x^2}{(1 - x2)2} = \frac{(1 - x2)2 + 4x^2}{(1 - x2)2} = \frac{1 + 2x^2 + x^4}{(1 - x2)2} = \frac{(1 + x2)2}{(1 - x2)2}.
$$

Passo 5

Logo o integrando fica
raiz(1 + x^2)^2(1 - x^2)^2 = 1 + x^21 - x^2, pois em [0,1/2] tudo é positivo. Então
$$L = \int_{0}^{1/2} \frac{1 + x^2}{1 - x^2},dx.
$$

Passo 6

Para integrar, escrevemos
1 + x^21 - x^2 = -1 + 21 - x^2, e assim
$$L = \int_{0}^{1/2}\Bigl(-1 + \frac{2}{1 - x^2}\Bigr)dx = \int_{0}^{1/2}(-1)dx + 2\int_{0}^{1/2}\frac{dx}{1 - x^2}.
$$

Passo 7

Sabemos que integral dx1 - x^2 = tfrac12lnl|1+x1-xr|. Portanto:
$$L = \Bigl[-x + \ln\frac{1+x}{1-x}\Bigr]_{0}^{1/2} = \Bigl(-\tfrac12 + \ln 3\Bigr) - (0 + 0) = \ln 3 - \tfrac12.
$$

Resposta

L = ln(3) - tfrac12.

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