Determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação em torno do eixo
, da região
delimitada pelos gráficos das equações dadas:
8.9)
, e
8.9)
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo x a região R limitada por y=ln x, y=0, y=1 e x=0. O conteúdo aqui é volume de revolução e vamos usar o método das cascas cilíndricas, além de precisar aplicar integração por partes.
Passo 2
No método das cascas cilíndricas para rotação em torno do eixo x usamos a fórmula:
onde o raio é a distância de cada casca ao eixo x e a altura é o comprimento horizontal da região.
A região R em termos de y vai de y=0 até y=1. Para um valor fixo de y, a casca tem raio = y e altura igual a x_{direita}-x_{Esquerda}=e^y-0.
Passo 3
Logo montamos o volume como
Passo 4
Agora calculamos
por partes:
Escolhemos e
. Então
e
.
Pela fórmula de integração por partes:
Escolhemos
Pela fórmula de integração por partes:
Passo 5
Avaliando de 0 a 1 temos
Portanto