Determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação em torno do eixo x, da região R delimitada pelos gráficos das equações dadas:
8.9) y=ln x, y=0, y=1, e x=0

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo x a região R limitada por y=ln x, y=0, y=1 e x=0. O conteúdo aqui é volume de revolução e vamos usar o método das cascas cilíndricas, além de precisar aplicar integração por partes.

Passo 2

No método das cascas cilíndricas para rotação em torno do eixo x usamos a fórmula:
V = 2pi integraly1^y2 (raio)(a
onde o raio é a distância de cada casca ao eixo x e a altura é o comprimento horizontal da região.
A região R em termos de y vai de y=0 até y=1. Para um valor fixo de y, a casca tem raio = y e altura igual a x_{direita}-x_{Esquerda}=e^y-0.

Passo 3

Logo montamos o volume como
V = 2pi integral0^1 y,e^y ,dy

Passo 4

Agora calculamos integral0^1 y e^y ,dy por partes:
Escolhemos u=y e dv=e^y dy. Então du=dy e v=e^y.
Pela fórmula de integração por partes:
integral y e^y ,dy = y e^y - integral e^y ,dy = y e^y - e^y + C

Passo 5

Avaliando de 0 a 1 temos
(1cdot e - e) - (0cdot1 - 1) = (e - e) - (-1) = 1
Portanto integral0^1 y e^y ,dy = 1 e
V = 2pi cdot 1 = 2pi

Resposta

2pi

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