Determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação em torno do eixo dos x, da região R delimitada pelos gráficos das seguintes equações:
Questão 2.
x=y^2+1, x=12, y=-2 e y=2

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido gerado ao girar em torno do eixo x a região R limitada por
x=y^2+1, x=tfrac12, y=-2, y=2
O conteúdo é cálculo de volume por método dos cilindros (casca cilíndrica). Vamos usar um elemento horizontal em função de y.

Passo 2

Tomemos uma faixa horizontal de espessura dy localizada em uma altura y. Ao girar em torno do eixo x, essa faixa gera uma casca de
  • raio r = |y|,
  • altura h = xdireita - xesquerda = (y^2+1) - tfrac12 = y^2 + tfrac12.

Passo 3

O volume elementar dessa casca é
dV = 2pi ,(raio),(a<ura),dy = 2pi,|y|l(y^2+tfrac12r),dy
Para obter o volume total, integramos de y=-2 a y=2:
V = integraly=-2^22pi,|y|l(y^2+tfrac12r),dy

Passo 4

A função |y|(y^2+tfrac12) é par, logo
V = 2piintegral-2^2|y|l(y^2+tfrac12r),dy =4piintegral0^2yl(y^2+tfrac12r),dy
Calculamos
integral0^2l(y^3 + tfrac y2r),dy =l[tfracy^44 + tfracy^24r]0^2 =l(4 + 1r)=5
Portanto
V =4picdot 5 =20pi

Resposta

O volume do sólido é 20pi.

Exercícios relacionados