Exemplo 5.5 Você é o engenheiro químico responsável pela implantação de uma nova planta química e está finalizando o projeto de um reator batelada onde acontecerá a reação elementar em fase líquida: 2 \mathrm{~A} \rightarrow \mathrm{~B} É solicitado um relatório contendo alguns dados citados nos itens (a) a (c). Para responder às perguntas, você conduziu alguns experimentos no laboratório e obteve os seguintes dados: no início da reação ( \mathrm{t}=0 ) a concentração do reagente A é CA0 e igual a 2 X mol.L-1. Com 1 h de reação a concentração de A diminuiu 2 mol.L-1. (a) (1,0) Determine uma expressão para a concentração de A ao longo do tempo, apresentando o balanço de massa para este reator. (b) (1,0) Qual o tempo para atingir uma conversão de 8 \mathrm{X} \% do reagente A , ou seja, 8 \mathrm{X} \% do reagente A foi consumido na reação. (c) (0,5) É possível determinar o tempo necessário para todo o reagente ser consumido? Em caso afirmativo, qual seria esse tempo. Observação: X: média do último algarismo do número da matrícula. Caso seja um número decimal, usar o número inteiro aplicando as regras do arredondamento.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (sem resolver ainda).
  • Dados fornecidos (peguei estes dados do enunciado):
    • Reação elementar em fase líquida: 2\mathrm{A}\rightarrow \mathrm{B}.
    • Concentração inicial de A: C_{A0}=2X\\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}} (ou seja, 2 vezes X, onde X é o dígito indicado no enunciado).
    • Após 1\\ \mathrm{h} de reação, a concentração de A diminuiu 2\\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}. Portanto C_A(1\\ \mathrm{h}) = C_{A0} - 2.
  • O que o enunciado pede:
    (a) Determinar uma expressão para a concentração de A ao longo do tempo, apresentando o balanço de massa para o reator batelada.
    (b) Calcular o tempo para atingir uma conversão de 8X\% do reagente A (ou seja, consumir 8X\% do A).
    (c) Dizer se é possível determinar o tempo para todo o reagente ser consumido; em caso afirmativo, qual seria esse tempo.
Observação sobre a notação de conversão: vou interpretar 8X\% como “o percentual igual a 8 multiplicado por X (por exemplo, se X=3 então 8X\%=24\%)”. Essa interpretação é consistente com o uso anterior de 2X para a concentração inicial (isto é, multiplicação). Vou manter X simbólico nas fórmulas para que você possa substituir o seu dígito depois.

Passo 2

Modelagem (balanço de massa) e lei de velocidade.
  • Em um reator batelada sem fluxo de entrada/saída, o balanço de massa para a espécie A é simplesmente a taxa de variação da concentração igual à taxa de consumo pela reação: \frac{dC_A}{dt} = \text{taxa de consumo de }A.
  • Para a reação 2\mathrm{A}\rightarrow \mathrm{B}, a estequiometria indica que a cada ocorrência da reação duas mols de A são consumidos. Se definirmos r como a velocidade da reação (avançamento por volume, sempre positivo para a direção direta), então a variação de A é \frac{dC_A}{dt} = \nu_A\, r = (-2)\, r,porque \nu_A=-2 (coeficiente estequiométrico de A).
  • Como a reação é elementar do tipo bimolecular A + A \to B, a lei de velocidade elementar é r = k'\, C_A^2,onde k' é a constante de velocidade (unidades \mathrm{L\cdot mol^{-1}\cdot h^{-1}} se t estiver em horas).
  • Substituindo em \dfrac{dC_A}{dt}=\nu_A r obtemos a equação diferencial que governa C_A(t): \frac{dC_A}{dt} = -2\,k'\,C_A^2.
  • Condição inicial: C_A(0)=C_{A0}=2X\\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}.
Resumo do balanço (a ser usado para integrar):
\frac{dC_A}{dt} = -2k' C_A^2,\qquad C_A(0)=C_{A0}=2X.

Passo 3

Resolver a equação diferencial (separação de variáveis) e obter expressão geral de C_A(t).
  • Separe variáveis: \frac{dC_A}{C_A^2} = -2k'\,dt.
  • Integre dos instantes 0 a t (e das concentrações C_{A0} a C_A(t)): \int_{C_{A0}}^{C_A(t)} \frac{dC_A}{C_A^2} = -2k' \int_{0}^{t} dt.
  • A integral do lado esquerdo é -\dfrac{1}{C_A} avaliada nos limites, logo: \left(-\frac{1}{C_A(t)}\right) - \left(-\frac{1}{C_{A0}}\right) = -2k' t.Simplificando: \frac{1}{C_A(t)} - \frac{1}{C_{A0}} = 2k' t.
  • Isolando C_A(t): \frac{1}{C_A(t)} = \frac{1}{C_{A0}} + 2k' t
\boxed{\,C_A(t)=\frac{1}{\dfrac{1}{C_{A0}} + 2k' t}\,}.
Esta é a expressão geral para C_A(t) em função de k' e C_{A0}.

Passo 4

Determinar k' usando o dado experimental (queda de 2\\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}} em 1 h).
  • Do experimento: C_A(1\\ \mathrm{h})=C_{A0}-2.
  • Use a forma linear para 1/C_A(t): \frac{1}{C_A(1)} = \frac{1}{C_{A0}} + 2k'\cdot 1\\ \mathrm{h}.Portanto 2k' = \frac{1}{C_A(1)} - \frac{1}{C_{A0}} = \frac{1}{C_{A0}-2} - \frac{1}{C_{A0}}.
  • Logo a constante k' é \boxed{\,k'=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{C_{A0}-2} - \frac{1}{C_{A0}}\right)\\ \\ (\text{unidade: }\mathrm{L\cdot mol^{-1}\cdot h^{-1}}).\,}(Aqui C_{A0}=2X\\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}; ao substituir um valor numérico de X as unidades fecham corretamente.)
Observação rápida de interpretação de unidades: nas frações \dfrac{1}{C_{A0}} e \dfrac{1}{C_{A0}-2} aparecem com unidades \mathrm{L\cdot mol^{-1}}; multiplicando por 1/(\mathrm{h}) (pelo fator 1/2 e pelo tempo de 1\\ \mathrm{h} usado no ajuste) resulta em k' com unidades \mathrm{L\cdot mol^{-1}\cdot h^{-1}}.

Passo 5

Substituir k' na expressão de C_A(t) e escrever a solução final em termos de C_{A0} (e, se quiser, em função de X).
  • Usando \dfrac{1}{C_A(t)} = \dfrac{1}{C_{A0}} + 2k' t e a expressão de k' obtida acima, uma forma compacta é: \boxed{\,C_A(t)=\frac{1}{\dfrac{1}{C_{A0}} + \left(\dfrac{1}{C_{A0}-2} - \dfrac{1}{C_{A0}}\right)\,t}\,}onde t está em horas e C_{A0}=2X\\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}.
  • Se quiser escrever explicitamente em termos de X, substitua C_{A0}=2X no lugar: C_A(t)=\frac{1}{\dfrac{1}{2X} + \left(\dfrac{1}{2X-2}-\dfrac{1}{2X}\right) t }.Essa é a expressão que dá C_A em \mathrm{mol\cdot L^{-1}} para qualquer t (em horas), uma vez conhecido X.

Passo 6

Calcular o tempo para atingir uma conversão de 8X\% (parte (b)).
  • Defina a conversão f (fração consumida, entre 0 e 1) correspondente a 8X\%. Pela interpretação adotada, f=\frac{8X}{100}.
  • Conversão relaciona concentrações por f=\frac{C_{A0}-C_A}{C_{A0}}\quad\Longrightarrow\quad C_A=C_{A0}(1-f).
  • Use a relação linear para 1/C_A: \frac{1}{C_A} - \frac{1}{C_{A0}} = 2k' t.Substitua C_A=C_{A0}(1-f): \frac{1}{C_{A0}(1-f)} - \frac{1}{C_{A0}} = 2k' t.Simplificando o lado esquerdo: \frac{1}{C_{A0}}\Big(\frac{1}{1-f}-1\Big) = 2k' t.Portanto t=\frac{1}{2k' C_{A0}}\Big(\frac{1}{1-f}-1\Big).
  • Agora use a informação experimental para eliminar k'. Lembrando que 2k' = \dfrac{1}{C_{A0}-2}-\dfrac{1}{C_{A0}}, substituímos: t=\frac{\dfrac{1}{C_{A0}}\left(\dfrac{1}{1-f}-1\right)}{\dfrac{1}{C_{A0}-2}-\dfrac{1}{C_{A0}}}.Faça as simplificações algébricas (as razões de inversos de concentrações simplificam muito): t=\frac{f\,(C_{A0}-2)}{2(1-f)}.
  • Substituindo C_{A0}=2X obtemos uma expressão ainda mais simples: \boxed{\,t=\frac{f(2X-2)}{2(1-f)}=\frac{f(X-1)}{1-f}\\ \mathrm{h},\quad\text{onde }f=\frac{8X}{100}\,.}Essa fórmula dá o tempo (em horas) necessário para atingir a conversão 8X\%. Note que X é o dígito da matrícula; substitua-o e calcule numericamente.
Exemplo rápido para checar a fórmula (teste numérico): se X=2 então C_{A0}=4\\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}, f=8\cdot 2\% =16\%=0{,}16. A fórmula dá
t=\frac{0{,}16(2-1)}{1-0{,}16}=\frac{0{,}16}{0{,}84}\approx0{,}1905\\ \mathrm{h}\approx11{,}4\\ \mathrm{min},
o que faz sentido fisicamente com a cinética dada.

Passo 7

Responder (c): é possível determinar tempo para todo o reagente ser consumido?
  • Pela solução geral temos \frac{1}{C_A(t)} = \frac{1}{C_{A0}} + 2k' t.Para C_A(t) chegar a zero seria necessário \dfrac{1}{C_A(t)} ficar infinito, o que exige t\to\infty. Portanto não existe tempo finito em que C_A=0 — a concentração se aproxima de zero assintoticamente quando t\to\infty.
  • Conclusão: não é possível obter C_A=0 em tempo finito; o tempo necessário para consumir todo o reagente é infinito.

Resposta

(a) Balanço e solução:
\displaystyle \frac{dC_A}{dt}=-2k' C_A^2,\quad C_A(0)=C_{A0}=2X,
\displaystyle C_A(t)=\frac{1}{\dfrac{1}{C_{A0}}+2k' t}
com \displaystyle k'=\frac{1}{2}\!\left(\frac{1}{C_{A0}-2}-\frac{1}{C_{A0}}\right) (unidade \mathrm{L\cdot mol^{-1}\cdot h^{-1}}). Substituindo C_{A0}=2X obtém-se C_A(t)=\dfrac{1}{\dfrac{1}{2X}+\left(\dfrac{1}{2X-2}-\dfrac{1}{2X}\right)t}.
(b) Tempo para conversão 8X\% (com f=\dfrac{8X}{100}):
\displaystyle t=\frac{f(X-1)}{1-f}\\ \mathrm{h}.
(c) Não — o tempo para consumir todo o reagente A é infinito (somente quando t\to\infty tem C_A\to0).

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