Exemplo 5.5 Você é o engenheiro químico responsável pela implantação de uma nova planta química e está finalizando o projeto de um reator batelada onde acontecerá a reação elementar em fase líquida:
É solicitado um relatório contendo alguns dados citados nos itens (a) a (c). Para responder às perguntas, você conduziu alguns experimentos no laboratório e obteve os seguintes dados: no início da reação (
) a concentração do reagente A é CA0 e igual a 2 X mol.L-1. Com 1 h de reação a concentração de A diminuiu 2 mol.L-1. (a)
Determine uma expressão para a concentração de A ao longo do tempo, apresentando o balanço de massa para este reator. (b)
Qual o tempo para atingir uma conversão de
do reagente A , ou seja,
do reagente
foi consumido na reação. (c)
É possível determinar o tempo necessário para todo o reagente ser consumido? Em caso afirmativo, qual seria esse tempo. Observação: X: média do último algarismo do número da matrícula. Caso seja um número decimal, usar o número inteiro aplicando as regras do arredondamento.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (sem resolver ainda).
- Dados fornecidos (peguei estes dados do enunciado):
- Reação elementar em fase líquida:
. - Concentração inicial de
: (ou seja, vezes , onde é o dígito indicado no enunciado). - Após
de reação, a concentração de diminuiu . Portanto
- Reação elementar em fase líquida:
- O que o enunciado pede:
(a) Determinar uma expressão para a concentração deao longo do tempo, apresentando o balanço de massa para o reator batelada.
(b) Calcular o tempo para atingir uma conversão dedo reagente (ou seja, consumir do ).
(c) Dizer se é possível determinar o tempo para todo o reagente ser consumido; em caso afirmativo, qual seria esse tempo.
Observação sobre a notação de conversão: vou interpretar
como “o percentual igual a
multiplicado por
(por exemplo, se
então
)”. Essa interpretação é consistente com o uso anterior de
para a concentração inicial (isto é, multiplicação). Vou manter
simbólico nas fórmulas para que você possa substituir o seu dígito depois.
Passo 2
Modelagem (balanço de massa) e lei de velocidade.
- Em um reator batelada sem fluxo de entrada/saída, o balanço de massa para a espécie
é simplesmente a taxa de variação da concentração igual à taxa de consumo pela reação: - Para a reação
, a estequiometria indica que a cada ocorrência da reação duas mols de são consumidos. Se definirmos como a velocidade da reação (avançamento por volume, sempre positivo para a direção direta), então a variação de é porque (coeficiente estequiométrico de ). - Como a reação é elementar do tipo bimolecular
, a lei de velocidade elementar é onde é a constante de velocidade (unidades se estiver em horas). - Substituindo em
obtemos a equação diferencial que governa : - Condição inicial:
.
Resumo do balanço (a ser usado para integrar):
Passo 3
Resolver a equação diferencial (separação de variáveis) e obter expressão geral de
.
- Separe variáveis:
- Integre dos instantes
a (e das concentrações a ): - A integral do lado esquerdo é
avaliada nos limites, logo: Simplificando: - Isolando
:
Esta é a expressão geral para
em função de
e
.
Passo 4
Determinar
usando o dado experimental (queda de
em 1 h).
- Do experimento:
. - Use a forma linear para
: Portanto - Logo a constante
é (Aqui ; ao substituir um valor numérico de as unidades fecham corretamente.)
Observação rápida de interpretação de unidades: nas frações
e
aparecem com unidades
; multiplicando por
(pelo fator
e pelo tempo de
usado no ajuste) resulta em
com unidades
.
Passo 5
Substituir
na expressão de
e escrever a solução final em termos de
(e, se quiser, em função de
).
- Usando
e a expressão de obtida acima, uma forma compacta é: onde está em horas e . - Se quiser escrever explicitamente em termos de
, substitua no lugar: Essa é a expressão que dá em para qualquer (em horas), uma vez conhecido .
Passo 6
Calcular o tempo para atingir uma conversão de
(parte (b)).
- Defina a conversão
(fração consumida, entre 0 e 1) correspondente a . Pela interpretação adotada, - Conversão relaciona concentrações por
- Use a relação linear para
: Substitua : Simplificando o lado esquerdo: Portanto - Agora use a informação experimental para eliminar
. Lembrando que , substituímos: Faça as simplificações algébricas (as razões de inversos de concentrações simplificam muito): - Substituindo
obtemos uma expressão ainda mais simples: Essa fórmula dá o tempo (em horas) necessário para atingir a conversão . Note que é o dígito da matrícula; substitua-o e calcule numericamente.
Exemplo rápido para checar a fórmula (teste numérico): se
então
,
. A fórmula dá
o que faz sentido fisicamente com a cinética dada.
Passo 7
Responder (c): é possível determinar tempo para todo o reagente ser consumido?
- Pela solução geral temos
Para chegar a zero seria necessário ficar infinito, o que exige . Portanto não existe tempo finito em que — a concentração se aproxima de zero assintoticamente quando . - Conclusão: não é possível obter
em tempo finito; o tempo necessário para consumir todo o reagente é infinito.
Resposta
(a) Balanço e solução:
com (unidade
). Substituindo
obtém-se
.
com
(b) Tempo para conversão
(com
):
(c) Não — o tempo para consumir todo o reagente
é infinito (somente quando
tem
).