A temperatura em cada ponto
de uma placa retangular situada no plano
é determinada por
:
Ache a direção e sentido em que a taxa de variação da temperatura no ponto (-3,1) é máxima.
Ache a direção e sentido em que a taxa de variação da temperatura no ponto (-3,1) é máxima.
Passo 1
O enunciado dá a função temperatura em cada ponto da placa como
e pede a direção em que a taxa de variação de
no ponto
é máxima. Estamos em um tópico de derivadas parciais e gradiente, e precisaremos usar a definição de gradiente para encontrar direção de maior crescimento.
Passo 2
A teoria diz que a taxa de variação direcional máxima de uma função de duas variáveis no ponto é dada pela direção do vetor gradiente. Ou seja, o vetor gradiente
aponta para onde
cresce mais rapidamente e seu módulo é justamente essa taxa de variação máxima.
Calculemos o gradiente de . Usando derivadas parciais:
e
. Logo,
Calculemos o gradiente de
Passo 3
Agora avaliamos em
:
Passo 4
Para obter a direção unitária (e, portanto, o sentido) do crescimento máximo, normalizamos
. O módulo de
é
.
O vetor unitário na direção de é
O vetor unitário na direção de
Resposta
A direção e sentido em que a taxa de variação de
em
é máxima é dada pelo vetor unitário
.