A temperatura em cada ponto (x, y) de uma placa retangular situada no plano x, y é determinada por T(x, y)=x^2+y^2:
Ache a direção e sentido em que a taxa de variação da temperatura no ponto (-3,1) é máxima.

Passo 1

O enunciado dá a função temperatura em cada ponto da placa como T(x,y)=x^2+y^2 e pede a direção em que a taxa de variação de T no ponto (-3,1) é máxima. Estamos em um tópico de derivadas parciais e gradiente, e precisaremos usar a definição de gradiente para encontrar direção de maior crescimento.

Passo 2

A teoria diz que a taxa de variação direcional máxima de uma função de duas variáveis no ponto é dada pela direção do vetor gradiente. Ou seja, o vetor gradiente nabla T(x,y) aponta para onde T cresce mais rapidamente e seu módulo é justamente essa taxa de variação máxima.
Calculemos o gradiente de T(x,y)=x^2+y^2. Usando derivadas parciais: partial Tpartial x=2x e partial Tpartial y=2y. Logo,
nabla T(x,y) = (2x,,2y)

Passo 3

Agora avaliamos em (-3,1):
nabla T(-3,1) = (2cdot(-3),,2cdot1) = (-6,,2)

Passo 4

Para obter a direção unitária (e, portanto, o sentido) do crescimento máximo, normalizamos (-6,2). O módulo de (-6,2) é raiz(-6)^2+2^2=raiz36+4=raiz40=2raiz10.
O vetor unitário na direção de nabla T(-3,1) é
u = 12raiz10(-6,2) = l(-3raiz10,,1raiz10r)

Resposta

A direção e sentido em que a taxa de variação de T em (-3,1) é máxima é dada pelo vetor unitário l(-tfrac3raiz10,,tfrac1raiz10r).

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