Se f: U subseteq R^n R, U aberto, for diferenciável em X0 in U, então existirá uma função varphi definida em U a valores em R tal que
f(X)-f(X0)=nabla f(X0) cdot(X-X0)+varphi(X)|X-X0|
com
lim x X0 varphi(X)=0=varphi(X0)

Passo 1

O enunciado diz que, se uma função fcolon UsubseteqR^ntoR é diferenciável em X0, então podemos escrever a diferença f(X)-f(X0) como um termo linear dado pelo gradiente em X0 mais um resto que é pequeno diante de |X-X0|. Para mostrar isso, lembramos da definição de diferenciabilidade em R^n: existe uma transformação linear L tal que
limXto X0f(X)-f(X0)-L(X-X0)|X-X0|=0

Passo 2

Mas sabemos que, quando f é diferenciável, esse L é exatamente o operador dado pelo gradiente em X0, ou seja, L(h)=nabla f(X0)cdot h. Assim
f(X)-f(X0)-nabla f(X0)cdot (X-X0)=o(|X-X0|)

Passo 3

Para explicitar esse resto como varphi(X)|X-X0|, definimos
varphi(X)=f(X)-f(X0)-nabla f(X0)cdot (X-X0)|X-X0|,&Xneq X0,0,&X=X0

Passo 4

Agora, por construção, para todo X temos
f(X)-f(X0)=nabla f(X0)cdot (X-X0)+varphi(X),|X-X0| e do limite na definição de diferenciabilidade segue que
limXto X0varphi(X)=0 Também definimos varphi(X0)=0 para garantir continuidade em X0.

Resposta

Basta tomar varphi(X)=tfracf(X)-f(X0)-nabla f(X0)cdot(X-X0)|X-X0| (e varphi(X0)=0), que satisfaz f(X)-f(X0)=nabla f(X0)cdot(X-X0)+varphi(X)|X-X0| e limXto X0varphi(X)=0.

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