Se
aberto, for diferenciável em
, então existirá uma função
definida em
a valores em
tal que
com
Passo 1
O enunciado diz que, se uma função
é diferenciável em
, então podemos escrever a diferença
como um termo linear dado pelo gradiente em
mais um resto que é pequeno diante de
. Para mostrar isso, lembramos da definição de diferenciabilidade em
: existe uma transformação linear
tal que
Passo 2
Mas sabemos que, quando
é diferenciável, esse
é exatamente o operador dado pelo gradiente em
, ou seja,
. Assim
Passo 3
Para explicitar esse resto como
, definimos
Passo 4
Agora, por construção, para todo
temos
Resposta
Basta tomar
(e
), que satisfaz
e
.