Determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação em torno do eixo y, da região R delimitada pelos gráficos das equações dadas:
9.6) y^3=x, x=2 y

Passo 1

Temos a região R no plano xy delimitada pelas curvas x = y^3 e x = 2y, e geramos um sólido ao girar R em torno do eixo y. Vamos usar o método dos anéis, cujo volume é dado por
V = integrala^b pil(R(y)^2 - r(y)^2r),dy Precisamos achar os limites de integração e as funções R(y) e r(y).

Passo 2

Para encontrar os limites de y, resolvemos y^3 = 2y, o que dá y = 0 ou y = pmraiz2. Considerando o primeiro quadrante (onde x>=0 e y>=0), os limites são y = 0 e y = raiz2.

Passo 3

Para cada y entre 0 e raiz2, a curva mais afastada do eixo y tem coordenada x = 2y, então R(y) = 2y, e a mais próxima é x = y^3, logo r(y) = y^3.

Passo 4

Substituindo em V = integral0^raiz2 pil[(2y)^2 - (y^3)^2r],dy, obtemos
V = piintegral0^raiz2 (4y^2 - y^6),dy

Passo 5

Calculamos integral0^raiz2(4y^2 - y^6),dy. A antiderivada é 4y^33 - y^77, e ao avaliar de 0 a raiz2 encontramos
32raiz221

Passo 6

Por fim, multiplicamos o resultado anterior por π para obter o volume do sólido formado pela revolução.

Resposta

32raiz2,pi21

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