Determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação em torno do eixo x, da região R delimitada pelos gráficos das equações dadas:
8.4) y=cos x, y=sen x, x in[-3 pi4, pi4]

Passo 1

Nesse exercício vamos calcular o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo x a região R limitada pelas curvas y=cos x e y=sin x no intervalo xin[-3pi/4,,pi/4]. O conteúdo envolve integrais definidas e o método dos discos (ou anéis) para sólidos de revolução, e vamos precisar usar propriedades de funções trigonométricas e considerar o sinal de sin x e cos x para identificar os raios externo e interno.

Passo 2

Primeiro, encontramos os pontos de interseção de sin x e cos x resolvendo sin x=cos x, ou seja tan x=1. No intervalo dado isso ocorre exatamente em x=-3pi/4 e x=pi/4, que são as extremidades de integração. Entre esses valores temos sempre cos x>=sin x.

Passo 3

Para decidir os raios ao girar em torno de x, notamos que o módulo das funções muda de ordem em x=-pi/4. De fato, em [-3pi/4,-pi/4] ambas são negativas e |sin x|>=|cos x|, enquanto em [-pi/4,pi/4] vale |cos x|>=|sin x|. Assim dividimos a integral nesses dois subintervalos.

Passo 4

No subintervalo [-3pi/4,-pi/4], ambas as funções são negativas, o raio externo é -sin x e o interno -cos x. A contribuição ao volume é
integral-3pi/4^-pi/4pil[(-sin x)^2-(-cos x)^2r],dx=integral-3pi/4^-pi/4pil(sin^2x-cos^2xr),dx

Passo 5

No subintervalo [-pi/4,pi/4], a curva mais distante do eixo x é cos x e a mais próxima é sin x. A contribuição ao volume é
integral-pi/4^pi/4pil(cos^2x-sin^2xr),dx

Passo 6

Usamos as identidades cos^2x-sin^2x=cos2x e sin^2x-cos^2x=-cos2x. Assim
integral-3pi/4^-pi/4(sin^2x-cos^2x),dx=integral-3pi/4^-pi/4-cos2x,dx=-tfrac12sin2x|-3pi/4^-pi/4=1,
integral-pi/4^pi/4(cos^2x-sin^2x),dx=integral-pi/4^pi/4cos2x,dx=tfrac12sin2x|-pi/4^pi/4=1
Somando e multiplicando por pi dá o volume total.

Passo 7

Juntando as duas partes o volume final é
V=pi(1+1)=2pi

Resposta

2pi

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