Determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação em torno do eixo , da região delimitada pelos gráficos das equações dadas:
8.4)
Passo 1
Nesse exercício vamos calcular o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo a região limitada pelas curvas e no intervalo . O conteúdo envolve integrais definidas e o método dos discos (ou anéis) para sólidos de revolução, e vamos precisar usar propriedades de funções trigonométricas e considerar o sinal de e para identificar os raios externo e interno.
Passo 2
Primeiro, encontramos os pontos de interseção de e resolvendo , ou seja . No intervalo dado isso ocorre exatamente em e , que são as extremidades de integração. Entre esses valores temos sempre .
Passo 3
Para decidir os raios ao girar em torno de , notamos que o módulo das funções muda de ordem em . De fato, em ambas são negativas e , enquanto em vale . Assim dividimos a integral nesses dois subintervalos.
Passo 4
No subintervalo , ambas as funções são negativas, o raio externo é e o interno . A contribuição ao volume é
Passo 5
No subintervalo , a curva mais distante do eixo é e a mais próxima é . A contribuição ao volume é