(a) Esboce a curva utilizando as equações paramétricas para traçar os pontos. Indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada conforme t aumenta.
(b) Elimine o parâmetro para encontrar a equação cartesiana da curva.
x=2 t-1, y=2-t, -3 <= t <= 3

Passo 1

Temos a curva paramétrica dada por x=2t-1, y=2-t com -3<= t<=3. O conteúdo é curvas paramétricas: em (a) vamos esboçar traçando alguns pontos e indicar a seta de direção conforme t aumenta; em (b) eliminamos o parâmetro para obter a equação cartesiana.

Passo 2

Para esboçar a curva, escolhemos pontos-chave: para t=-3 temos (x,y)=(-7,5), para t=0 temos (x,y)=(-1,2) e para t=3 temos (x,y)=(5,-1). Como todos caem numa mesma reta, ligamos os três formando um segmento. Colocamos uma seta apontando de (-7,5) para (5,-1), pois esse é o sentido de crescimento de t.

Passo 3

Para eliminar o parâmetro, resolvemos x=2t-1 em função de t:
t=x+12

Passo 4

Substituímos em y=2-t e simplificamos:
y=2-x+12=4-(x+1)2=3-x2

Passo 5

Multiplicando ambos os lados por 2, obtemos
x+2y-3=0,que é a equação cartesiana da reta. Observando -3<= t<=3, a curva é o segmento dessa reta entre (-7,5) e (5,-1).

Resposta

a) É o segmento de reta ligando os pontos (-7,5) e (5,-1), com seta indicando movimento de (-7,5) para (5,-1) conforme t aumenta. b) A equação cartesiana é x+2y-3=0.

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