Determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação em torno do eixo dos x, da região R delimitada pelos gráficos das seguintes equações:
Questão 2.
y=ln (x), y=-1, y=2 e y=0

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo x a região R limitada pelas curvas
y=ln(x), y=-1, y=2, e x=0
(observando que a reta x=0 substitui o “ y=0” para que a região fique fechada).
O método mais direto aqui é o dos cilindros (shells) cortando a região por tiras horizontais de espessura dy.

Passo 2

Para cada yin[-1,2] a tira horizontal vai de x=0 até x=e^y. Ao girar em torno de x essa tira gera um cilindro de raio
r=|y|
e altura (comprimento)
h = e^y - 0 = e^y
Pelo método das cascas cilíndricas,
V ;=; 2piintegraly=-1^2(raio)(a<ura),dy ;=; 2piintegral-1^2|y|,e^y,dy

Passo 3

Como |y| muda de expressão em y=0, quebramos a integral em
V = 2pil[integral-1^0(-y)e^y,dy;+;integral0^2y,e^y,dyr]
Calculemos cada uma por partes ( integral y,e^y,dy = y,e^y - e^y):
  1. integral-1^0(-y)e^y,dy =l[-y,e^y+e^yr]-1^0 = (1) - tfrac2e = 1 - tfrac2e
  2. integral0^2y,e^y,dy =l[y,e^y - e^yr]0^2 = l(2e^2-e^2r) -(-1) = e^2+1
Assim
V = 2pil[l(1-tfrac2er) +l(e^2+1r)r] = 2pil(e^2 +2 -tfrac2er)

Passo 4

Portanto, o volume do sólido de revolução em torno do eixo x é dado por
V = 2pil(e^2 + 2 - tfrac2er)

Resposta

V = 2pil(e^2 + 2 - 2/er)

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