Resolva os seguintes problemas, aplicando os conceitos de Séries de Taylor e Maclaurin. Mostre todos os cálculos intermediários e justifique suas respostas.
Use uma série de Maclaurin conhecida da Tabela 1 (do material didático) para obter a série de Maclaurin da função f(x)=x^{2} e^{x}.

Passo 1

O enunciado pede a série de Maclaurin de f(x)=x^{2}e^{x}.
O conteúdo envolvido é a expansão de funções em série de potências em torno de zero.
Para resolver, vamos usar a série de Maclaurin conhecida de e^{x}.

Passo 2

A série de Maclaurin de e^{x} é
e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}.

Passo 3

Multiplicamos termo a termo por x^{2}, obtendo
x^{2}e^{x} =x^{2}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n+2}}{n!}.

Passo 4

Para escrever em forma padrão de série em x^{k}, fazemos a mudança de índice k=n+2, logo n=k-2 e quando n=0 temos k=2. Portanto
x^{2}e^{x} =\sum_{k=2}^{\infty}\frac{x^{k}}{(k-2)!}.

Passo 5

Se quisermos ver os primeiros termos, basta escrever para k=2,3,4,5:
x^{2}e^{x} =x^{2}+\;x^{3}+\;\frac{x^{4}}{2!}+\;\frac{x^{5}}{3!}+\cdots.

Resposta

x^{2}e^{x} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n+2}}{n!} \;=\;\sum_{k=2}^{\infty}\frac{x^{k}}{(k-2)!} \;=\;x^{2}+x^{3}+\frac{x^{4}}{2!}+\frac{x^{5}}{3!}+\cdots.

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