Determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação em torno do eixo
, da região
delimitada pelos gráficos das equações dadas:
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo
a região
limitada por
Informações relevantes que o enunciado dá:
Pergunta a responder: qual é o volume do sólido de revolução gerado por essa região
ao girá-la em torno do eixo
?
Passo 2
Escolhemos a ideia do “disco com furo” (também chamado de método dos anéis ou washers). Vou explicar didaticamente essa ideia: para cada
fixo, a interseção do sólido com o plano perpendicular ao eixo
é um anel circular cuja área vale
onde
é o raio externo do anel (a distância do eixo
até a função que está mais acima) e
é o raio interno (a distância até a função que está mais abaixo). O volume é a soma (integral) dessas áreas ao longo de
:
Aqui
e
. Antes de escrever a integral, preciso decidir qual função é
(a maior) e qual é
(a menor) no intervalo dado.
Passo 3
Comparando
e
em
: em
temos
e
, logo
. Em
temos
. No intervalo
a função
é decrescente e
é crescente, portanto
para todo
nesse intervalo (igual só em
). Conclusão:
Passo 4
Agora escrevo a integral do volume usando a fórmula do passo 2:
Posso fatorar o
para fora:
Passo 5
Simplifico a integranda usando a identidade trigonométrica de ângulo duplo. A identidade é
Essa identidade vem de fórmulas trigonométricas básicas (por exemplo,
e
). Assim a integral fica
Passo 6
Calculo a integral indefinida de
. Como a derivada de
é
, temos
Portanto a integral definida é
Passo 7
Avalio os senos:
, e
,
. Logo
Como verificação rápida: numericamente
, um valor razoável para um sólido obtido girando uma região pequena.