Determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação em torno do eixo x, da região R delimitada pelos gráficos das equações dadas:
y=\cos x, \quad y=\operatorname{sen} x, \quad x \in\left[0, \frac{\pi}{4}\right]

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo x a região R limitada por
y=\cos x,\quad y=\sin x,\quad x\in\left[0,\frac{\pi}{4}\right].
Informações relevantes que o enunciado dá:
\text{(i)}\quad \text{o intervalo em }x\text{ é }[0,\tfrac{\pi}{4}],é
\text{(ii)}\quad \text{as curvas são }y=\cos x\text{ e }y=\sin x,ã
\text{(iii)}\quad \text{o eixo de revolução é o eixo }x.çãé
Pergunta a responder: qual é o volume do sólido de revolução gerado por essa região R ao girá-la em torno do eixo x?

Passo 2

Escolhemos a ideia do “disco com furo” (também chamado de método dos anéis ou washers). Vou explicar didaticamente essa ideia: para cada x fixo, a interseção do sólido com o plano perpendicular ao eixo x é um anel circular cuja área vale
A(x)=\pi\big(R(x)^2-r(x)^2\big),
onde R(x) é o raio externo do anel (a distância do eixo x até a função que está mais acima) e r(x) é o raio interno (a distância até a função que está mais abaixo). O volume é a soma (integral) dessas áreas ao longo de x:
V=\int_{a}^{b} A(x)\,dx=\int_{a}^{b}\pi\big(R(x)^2-r(x)^2\big)\,dx.
Aqui a=0 e b=\tfrac{\pi}{4}. Antes de escrever a integral, preciso decidir qual função é R(x) (a maior) e qual é r(x) (a menor) no intervalo dado.

Passo 3

Comparando \cos x e \sin x em \left[0,\tfrac{\pi}{4}\right]: em x=0 temos \cos0=1 e \sin0=0, logo \cos0>\sin0. Em x=\tfrac{\pi}{4} temos \cos\tfrac{\pi}{4}=\sin\tfrac{\pi}{4}=\tfrac{\sqrt{2}}{2}. No intervalo [0,\tfrac{\pi}{4}] a função \cos x é decrescente e \sin x é crescente, portanto \cos x\ge \sin x para todo x nesse intervalo (igual só em x=\tfrac{\pi}{4}). Conclusão:
R(x)=\cos x,\qquad r(x)=\sin x\quad\text{para }x\in\left[0,\tfrac{\pi}{4}\right].

Passo 4

Agora escrevo a integral do volume usando a fórmula do passo 2:
V=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\pi\big(\cos^2 x-\sin^2 x\big)\,dx.
Posso fatorar o \pi para fora:
V=\pi\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\big(\cos^2 x-\sin^2 x\big)\,dx.

Passo 5

Simplifico a integranda usando a identidade trigonométrica de ângulo duplo. A identidade é
\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x.
Essa identidade vem de fórmulas trigonométricas básicas (por exemplo, \cos 2x=2\cos^2 x-1 e \cos^2 x+\sin^2 x=1). Assim a integral fica
V=\pi\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\cos 2x\,dx.

Passo 6

Calculo a integral indefinida de \cos 2x. Como a derivada de \sin 2x é 2\cos 2x, temos
\int \cos 2x\,dx=\frac{1}{2}\sin 2x + C.
Portanto a integral definida é
V=\pi\left[\frac{1}{2}\sin 2x\right]_{0}^{\frac{\pi}{4}}=\frac{\pi}{2}\big(\sin\big(2\cdot\tfrac{\pi}{4}\big)-\sin 0\big).

Passo 7

Avalio os senos: 2\cdot\tfrac{\pi}{4}=\tfrac{\pi}{2}, e \sin\tfrac{\pi}{2}=1, \sin 0=0. Logo
V=\frac{\pi}{2}(1-0)=\frac{\pi}{2}.
Como verificação rápida: numericamente \tfrac{\pi}{2}\approx 1{,}5708, um valor razoável para um sólido obtido girando uma região pequena.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{2}

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