Encontrar o comprimento de arco das curvas dadas:
x=\frac{1}{3} y^{3}+\frac{1}{4 y}, \quad 1 \leq y \leq 3

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco da curva dada por
x=\frac{1}{3}y^{3}+\frac{1}{4y},
no intervalo \,1\le y\le 3.
Informações relevantes:
  • A curva está expressa como x em função de y.
  • O intervalo para o parâmetro (a variável independente aqui) é y\in[1,3].
  • A pergunta é: calcular o comprimento de arco dessa curva no intervalo dado.

Passo 2

Fórmula que vamos usar (explicação didática):
Se uma curva é dada por x=x(y) e y varia de y=a até y=b, podemos parametrizá-la por y (ou seja, tomar t=y). O comprimento de arco L é obtido somando infinitesimais de comprimento ds. Para um pequeno incremento dy temos
ds=\sqrt{\left(\frac{dx}{dy}\right)^{2}+\left(\frac{dy}{dy}\right)^{2}}\,dy =\sqrt{1+\left(\frac{dx}{dy}\right)^{2}}\,dy.
Portanto a fórmula para o comprimento de arco é
L=\int_{a}^{b}\sqrt{1+\left(\frac{dx}{dy}\right)^{2}}\,dy.
Aqui a=1 e b=3. Essa fórmula vem do teorema de Pitágoras aplicado ao triângulo infinitesimal formado pelos incrementos dx e dy.

Passo 3

Calcular a derivada \dfrac{dx}{dy} termo a termo (a gente vai precisar dela na integral):
A função é \displaystyle x=\frac{1}{3}y^{3}+\frac{1}{4}y^{-1}.
  • Derivada de \dfrac{1}{3}y^{3} é \dfrac{1}{3}\cdot 3y^{2}=y^{2}.
  • Derivada de \dfrac{1}{4}y^{-1} é \dfrac{1}{4}\cdot(-1)y^{-2}=-\dfrac{1}{4}y^{-2}.
    Logo
\frac{dx}{dy}=y^{2}-\frac{1}{4y^{2}}.

Passo 4

Calcular 1+\left(\dfrac{dx}{dy}\right)^{2} e tentar simplificar:
Primeiro quadrado:
\left(y^{2}-\frac{1}{4y^{2}}\right)^{2}=y^{4}-2\cdot y^{2}\cdot\frac{1}{4y^{2}}+\frac{1}{16y^{4}} = y^{4}-\frac{1}{2}+\frac{1}{16y^{4}}.
Agora somamos 1:
1+\left(\frac{dx}{dy}\right)^{2}=y^{4}+\frac{1}{2}+\frac{1}{16y^{4}}.
Repare que isso é um quadrado perfeito: é igual a
\left(y^{2}+\frac{1}{4y^{2}}\right)^{2},
porque ao expandir \left(y^{2}+\frac{1}{4y^{2}}\right)^{2} obtemos exatamente y^{4}+\frac{1}{2}+\frac{1}{16y^{4}}.
Como y no intervalo dado é positivo, a raiz quadrada é a soma (positiva):
\sqrt{1+\left(\frac{dx}{dy}\right)^{2}}=y^{2}+\frac{1}{4y^{2}}.

Passo 5

Substituindo na integral de comprimento de arco, obtemos
L=\int_{1}^{3}\left(y^{2}+\frac{1}{4y^{2}}\right)\,dy.
Ou seja, a integral simplificou bastante — agora é uma soma de potências de y.

Passo 6

Integrar termo a termo usando a regra da potência:
  • Regra da potência: \displaystyle \int y^{n}\,dy=\frac{y^{n+1}}{n+1}+C para n\neq -1.
    Aplicando:
\int y^{2}\,dy=\frac{y^{3}}{3}, \qquad \int \frac{1}{4}y^{-2}\,dy=\frac{1}{4}\int y^{-2}\,dy =\frac{1}{4}\left(-\frac{1}{y}\right)=-\frac{1}{4y}.
Logo uma primitiva é
F(y)=\frac{y^{3}}{3}-\frac{1}{4y}.

Passo 7

Avaliar a primitiva nos limites 1 e 3 e subtrair:
F(3)=\frac{3^{3}}{3}-\frac{1}{4\cdot 3}=9-\frac{1}{12}=\frac{107}{12},
F(1)=\frac{1^{3}}{3}-\frac{1}{4\cdot 1}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{1}{12}.
A integral (o comprimento) é F(3)-F(1), que dá
\frac{107}{12}-\frac{1}{12}=\frac{106}{12}.

Resposta

\displaystyle \frac{53}{6}

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