Encontrar o comprimento de arco das curvas dadas:
Passo 1
O enunciado pede o comprimento de arco da curva dada por
no intervalo
.
Informações relevantes:
Informações relevantes:
- A curva está expressa como
em função de . - O intervalo para o parâmetro (a variável independente aqui) é
. - A pergunta é: calcular o comprimento de arco dessa curva no intervalo dado.
Passo 2
Fórmula que vamos usar (explicação didática):
Se uma curva é dada por e
varia de
até
, podemos parametrizá-la por
(ou seja, tomar
). O comprimento de arco
é obtido somando infinitesimais de comprimento
. Para um pequeno incremento
temos
Se uma curva é dada por
Portanto a fórmula para o comprimento de arco é
Aqui
e
. Essa fórmula vem do teorema de Pitágoras aplicado ao triângulo infinitesimal formado pelos incrementos
e
.
Passo 3
Calcular a derivada
termo a termo (a gente vai precisar dela na integral):
A função é
A função é
- Derivada de
é - Derivada de
é
Logo
Passo 4
Calcular
e tentar simplificar:
Primeiro quadrado:
Primeiro quadrado:
Agora somamos
:
Repare que isso é um quadrado perfeito: é igual a
porque ao expandir
obtemos exatamente
.
Como no intervalo dado é positivo, a raiz quadrada é a soma (positiva):
Como
Passo 5
Substituindo na integral de comprimento de arco, obtemos
Ou seja, a integral simplificou bastante — agora é uma soma de potências de
.
Passo 6
Integrar termo a termo usando a regra da potência:
- Regra da potência:
para .
Aplicando:
Logo uma primitiva é
Passo 7
Avaliar a primitiva nos limites
e
e subtrair:
A integral (o comprimento) é
, que dá