Explique por que a integral é imprópria e resolva a integral:
\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{2 x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: explicar por que a integral é imprópria e calcular
\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{2x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}\,dx.
Informações dadas e observações imediatas:
\text{a função integranda é } f(x)=\frac{2x}{(x^{2}+1)^{2}},çãé
o intervalo de integração é (-\infty,+\infty), e o denominador x^{2}+1 nunca se anula (pois x^{2}+1\ge 1 para todo x).
Não foi enviada nenhuma figura; a integral está totalmente especificada pelo enunciado.

Passo 2

Por que a integral é imprópria:
A integral é imprópria porque os limites de integração são infinitos ( -\infty e +\infty). Uma integral sobre toda a reta real é definida como a soma de dois limites impróprios convergentes; por exemplo, escolhendo um ponto de separação (usualmente 0), definimos
\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,dx = \lim_{A\to-\infty}\int_{A}^{0} f(x)\,dx + \lim_{B\to+\infty}\int_{0}^{B} f(x)\,dx,
desde que ambos os limites existam (finitem). Isso difere do caso em que a integranda tem singularidade no interior do intervalo; aqui não há singularidade porque x^{2}+1\neq 0 para todo x. Portanto a impropriedade vem somente dos limites infinitos.

Passo 3

Propriedade de paridade e convergência das caudas:
Primeiro note que a função é ímpar:
f(-x)=\frac{2(-x)}{((-x)^{2}+1)^{2}}=-\frac{2x}{(x^{2}+1)^{2}}=-f(x).
Para funções ímpares integráveis em (-\infty,\infty) a integral sobre a reta é 0, mas isso só vale se as integrais impróprias das duas caudas convergirem. Vamos verificar a convergência das caudas por comparação: para |x|\ge 1,
\left|\frac{2x}{(x^{2}+1)^{2}}\right| \le \frac{2|x|}{(x^{2})^{2}} = \frac{2}{|x|^{3}}.
Sabemos que a integral
\int_{1}^{\infty}\frac{2}{x^{3}}\,dx
converge (é uma p-integral com p=3>1). Portanto as caudas de f são absolutamente integráveis e, em particular, as integrais impróprias \int_{0}^{\infty} f(x)\,dx e \int_{-\infty}^{0} f(x)\,dx convergem. Assim podemos usar com segurança a paridade: a contribuição da cauda positiva é oposta da cauda negativa, o que sugere cancelamento e integral total nula. Ainda assim, vamos calcular explicitamente para ficar seguro.

Passo 4

Encontrando uma primitiva (antiderivada) — regra da cadeia e derivação:
Observe a função g(x)=\dfrac{1}{x^{2}+1}=(x^{2}+1)^{-1}. Aplicando a regra da cadeia para derivar g temos:
g'(x) = -1\cdot (x^{2}+1)^{-2}\cdot (2x) = -\frac{2x}{(x^{2}+1)^{2}}.
Logo
\frac{2x}{(x^{2}+1)^{2}} = -g'(x) = -\frac{d}{dx}\!\left(\frac{1}{x^{2}+1}\right).
Isso nos dá imediatamente uma primitiva para f:
F(x) = -\frac{1}{x^{2}+1} + C,
pois F'(x)=f(x). Aqui expliquei a regra da cadeia: ao derivar (\text{algo})^{-1} multiplicamos por -1 e por derivada interna 2x.

Passo 5

Avaliação das integrais impróprias usando a primitiva:
Escrevemos a integral como soma das duas partes e usamos F para avaliar:
\int_{0}^{B} \frac{2x}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx = \left[-\frac{1}{x^{2}+1}\right]_{0}^{B} = -\frac{1}{B^{2}+1} -\left(-\frac{1}{0^{2}+1}\right) = 1 - \frac{1}{B^{2}+1}.
Fazendo B\to+\infty obtemos
\lim_{B\to+\infty}\int_{0}^{B} \frac{2x}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx = 1.
Agora a parte à esquerda:
\int_{A}^{0} \frac{2x}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx = \left[-\frac{1}{x^{2}+1}\right]_{A}^{0} = -\frac{1}{0^{2}+1} -\left(-\frac{1}{A^{2}+1}\right) = -1 + \frac{1}{A^{2}+1}.
Fazendo A\to -\infty (note que A^{2}\to+\infty independentemente do sinal) obtemos
\lim_{A\to-\infty}\int_{A}^{0} \frac{2x}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx = -1.
Somando as duas partes (definição da integral imprópria sobre toda a reta):
\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{2x}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx = (-1) + (1) = 0.
Isso confirma tanto o cálculo direto quanto o argumento por paridade.

Passo 6

Conclusão e comentário final:
A integral é imprópria porque os limites de integração são infinitos; não há singularidade no integrando. Calculamos uma primitiva usando a regra da cadeia e avaliamos as duas caudas, que convergem (de fato absolutamente), e vimos que se cancelam, resultando em 0. Boa! Você conseguiu ver tanto o porquê da impropriedade quanto uma técnica direta de cálculo.

Resposta

0

Exercícios relacionados