\text{a função integranda é } f(x)=\frac{2x}{(x^{2}+1)^{2}},
o intervalo de integração é (-\infty,+\infty), e o denominador x^{2}+1 nunca se anula (pois x^{2}+1\ge 1 para todo x).
Não foi enviada nenhuma figura; a integral está totalmente especificada pelo enunciado.
Passo 2
Por que a integral é imprópria:
A integral é imprópria porque os limites de integração são infinitos (-\infty e +\infty). Uma integral sobre toda a reta real é definida como a soma de dois limites impróprios convergentes; por exemplo, escolhendo um ponto de separação (usualmente 0), definimos
desde que ambos os limites existam (finitem). Isso difere do caso em que a integranda tem singularidade no interior do intervalo; aqui não há singularidade porque x^{2}+1\neq 0 para todo x. Portanto a impropriedade vem somente dos limites infinitos.
Passo 3
Propriedade de paridade e convergência das caudas:
Primeiro note que a função é ímpar:
Para funções ímpares integráveis em (-\infty,\infty) a integral sobre a reta é 0, mas isso só vale se as integrais impróprias das duas caudas convergirem. Vamos verificar a convergência das caudas por comparação: para |x|\ge 1,
converge (é uma p-integral com p=3>1). Portanto as caudas de f são absolutamente integráveis e, em particular, as integrais impróprias \int_{0}^{\infty} f(x)\,dx e \int_{-\infty}^{0} f(x)\,dx convergem. Assim podemos usar com segurança a paridade: a contribuição da cauda positiva é oposta da cauda negativa, o que sugere cancelamento e integral total nula. Ainda assim, vamos calcular explicitamente para ficar seguro.
Passo 4
Encontrando uma primitiva (antiderivada) — regra da cadeia e derivação:
Observe a função g(x)=\dfrac{1}{x^{2}+1}=(x^{2}+1)^{-1}. Aplicando a regra da cadeia para derivar g temos:
Isso confirma tanto o cálculo direto quanto o argumento por paridade.
Passo 6
Conclusão e comentário final:
A integral é imprópria porque os limites de integração são infinitos; não há singularidade no integrando. Calculamos uma primitiva usando a regra da cadeia e avaliamos as duas caudas, que convergem (de fato absolutamente), e vimos que se cancelam, resultando em 0. Boa! Você conseguiu ver tanto o porquê da impropriedade quanto uma técnica direta de cálculo.