Determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo y, da região R delimitada pelos gráficos das equações dadas.
y=x^3 e y=x^2;

Passo 1

A região R é delimitada pelos gráficos de y = x³ e y = x², e vamos girar essa região em torno do eixo y. O conteúdo envolve cálculo de volumes por cascas cilíndricas, então precisaremos achar onde as curvas se cruzam e usar a fórmula de cascas para montar a integral.

Passo 2

Para encontrar os pontos de interseção, igualamos x³ a x²: x³ = x²³² implica x²(x - 1) = 0², logo x = 0 ou x = 1. São esses os limites de integração.

Passo 3

No método das cascas cilíndricas, ao girar em torno do eixo y, cada casca em abscissa x tem raio x, altura dada pela diferença das funções no eixo y e espessura dx. A fórmula geral é
V = 2pi integrala^b xl(f(x) - g(x)r),dx
Aqui temos f(x) = x² (curva de cima) e g(x) = x³ (curva de baixo), com a = 0 e b = 1. Então
V = 2pi integral0^1 xl(x² - x³r),dx = 2pi integral0^1 (x³ - x⁴),dx²³³

Passo 4

Agora calculamos a integral:
integral0^1 (x³ - x⁴),dx = [x⁴4 - x⁵5]0^1 = 14 - 15 = 120,³
portanto
V = 2pi cdot 120

Resposta

pi10

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