Determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo
, da região
delimitada pelos gráficos das equações dadas.
e
;
Passo 1
A região R é delimitada pelos gráficos de y = x³ e y = x², e vamos girar essa região em torno do eixo y. O conteúdo envolve cálculo de volumes por cascas cilíndricas, então precisaremos achar onde as curvas se cruzam e usar a fórmula de cascas para montar a integral.
Passo 2
Para encontrar os pontos de interseção, igualamos x³ a x²:
implica
, logo
ou
. São esses os limites de integração.
Passo 3
No método das cascas cilíndricas, ao girar em torno do eixo y, cada casca em abscissa x tem raio x, altura dada pela diferença das funções no eixo y e espessura dx. A fórmula geral é
Aqui temos f(x) = x² (curva de cima) e g(x) = x³ (curva de baixo), com a = 0 e b = 1. Então
Passo 4
Agora calculamos a integral:
portanto