Determine o limite, caso exista, ou mostre que o limite não existe.
(g) lim (x, y) (0,-2) x^2-(y+2)^2x^2+(y+2)^2.

Passo 1

O enunciado pede o limite de f(x,y)= x^2-(y+2)^2x^2+(y+2)^2 quando (x,y)to(0,-2). O conteúdo aqui é limite de função de duas variáveis, e vamos usar a definição de limite e o teste de caminhos para checar se o valor é único.

Passo 2

Para facilitar, fazemos a mudança de variáveis u=x e v=y+2, de modo que (u,v)to(0,0). Assim,
f(x,y)=x^2-(y+2)^2x^2+(y+2)^2=u^2-v^2u^2+v^2

Passo 3

Analisamos primeiro o caminho v=0 (isto é, y+2=0 ou y=-2). Substituindo na expressão:
limuto0f(u,0)=limuto0u^2-0u^2+0=limuto01=1

Passo 4

Agora analisamos o caminho u=0 (isto é, x=0). Substituindo temos:
limvto0f(0,v)=limvto00-v^20+v^2=limvto0(-1)=-1

Passo 5

Como ao longo de diferentes caminhos obtivemos limites distintos (1 e -1), o limite não é único e, portanto, não existe.

Resposta

O limite não existe.

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