Mostre que lim (x, y) (3,0) 7(x-3)^2 y^2(x-3)^2+y^2=0.

Passo 1

A questão pede para mostrar que a função
f(x,y)=7(x-3)^2y^2(x-3)^2+y^2 \nteve limite zero quando o par (x,y) tende a (3,0). O conteúdo aqui é limite de função de duas variáveis e vamos usar o Teorema do Confronto (squeeze theorem).

Passo 2

Primeiro lembramos o critério de limite para funções reais de duas variáveis: mostrar que
lim(x,y)to(3,0)f(x,y)=0
é equivalente a mostrar que |f(x,y)-0|to0 quando (x,y)to(3,0).

Passo 3

Analisamos o valor absoluto de f(x,y):
|f(x,y)|=|7(x-3)^2y^2(x-3)^2+y^2| =7(x-3)^2y^2(x-3)^2+y^2
Observamos que (x-3)^2>=0 e y^2>=0, então
0<=(x-3)^2(x-3)^2+y^2<=1
Logo podemos estimar:
|f(x,y)|=7y^2cdot(x-3)^2(x-3)^2+y^2<=7y^2

Passo 4

Pelo Teorema do Confronto, se |f(x,y)|<=7y^2 e (x,y)to(3,0) quando yto0 (pois |f(x,y)|to0), então f(x,y)to0. Ou seja, .

Passo 5

Concluímos que
lim(x,y)to(3,0)7(x-3)^2y^2(x-3)^2+y^2=0

Resposta

0

Exercícios relacionados