Determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação em torno do eixo dos y, da região delimitada pelos gráficos das seguintes equações:
y=ln (x), y=-1, y=2 e y=0

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo y a região limitada pelas curvas
y=ln(x), x=0, y=-1, y=2
O método mais direto é o dos discos (ou washers), pois fatias horizontais dão discos de raio dependente de y. Precisamos reescrever x em função de y.

Passo 2

Da equação y=ln(x) temos
x=e^y
Então, para cada y fixo entre -1 e 2, a região vai de x=0 (eixo y) até x=e^y. Ao girar, cada fatia horizontal forma um disco de raio
R(y)=e^y

Passo 3

A área do disco de espessura dy é
A(y)=pil[R(y)r]^2 =pi,e^2y
O volume elementar é dV=A(y),dy.

Passo 4

Somando todos os discos de y=-1 até y=2, o volume é
V=integraly=-1^2pi,e^2y,dy

Passo 5

Calculemos a integral:
V =piintegral-1^2e^2y,dy =pigl[e^2y2gr]y=-1^2 =pi2l(e^4-e^-2r)

Resposta

V = pi2l(e^4 - e^-2r)

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