Represente as equações das seguintes curvas planas na forma padrão e denomine-as matematicamente:
9 x^2-16 y^2+36 x+32 y-124=0

Passo 1

O enunciado pede para colocar a curva
9x^2-16y^2+36x+32y-124=0
na forma padrão de uma cônica e identificar do que se trata (círculo, elipse, parábola ou hipérbole). Para isso, vamos usar o método de completar quadrados em x e em y e, em seguida, comparar com as formas canônicas conhecidas.

Passo 2

Agrupamos e completamos o quadrado separando os termos em x e em y:
9x^2+36x ;-;16y^2+32y ;-;124 =0
Para x:
9x^2+36x =9l(x^2+4xr) =9l[(x+2)^2-4r] =9(x+2)^2-36
Para y:
-16y^2+32y =-16l(y^2-2yr) =-16l[(y-1)^2-1r] =-16(y-1)^2+16

Passo 3

Substituindo na equação original:
9(x+2)^2-36 ;+; l[-16(y-1)^2+16r] ;-;124 =0
9(x+2)^2-16(y-1)^2 -36 +16 -124 =0
9(x+2)^2-16(y-1)^2 -144 =0
9(x+2)^2-16(y-1)^2 =144
Dividindo ambos os lados por 144:
9(x+2)^2144 ;-;16(y-1)^2144 =1 Longrightarrow (x+2)^216 ;-;(y-1)^29 =1

Passo 4

Comparando com a forma padrão de hipérbole centrada em (h,k):
(x-h)^2a^2 - (y-k)^2b^2 = 1,
vemos que
h=-2, k=1, a^2=16, b^2=9,
ou seja a=4 e b=3. Trata-se de uma hipérbole com eixo transverso paralelo ao eixo x, centro em (-2,1), semieixos a=4 e b=3.

Resposta

A forma padrão é
(x+2)^216 ;-;(y-1)^29 =1
e é uma hipérbole de centro em (-2,1), com semieixo transverso a=4 e semieixo conjugado b=3.

Exercícios relacionados