Represente as equações das seguintes curvas planas na forma padrão e denomine-as matematicamente:
9 x^2+16 y^2+18 x-64 y-71=0

Passo 1

O enunciado nos dá a cônica de segundo grau
9x^2+16y^2+18x-64y-71=0,
com coeficientes de x^2 e y^2 ambos positivos e distintos, o que indica que se trata de uma elipse. Para obter a forma padrão, vamos completar os quadrados em x e em y.

Passo 2

Agrupamos termos de x e de y:
9l(x^2+2xr)+16l(y^2-4yr)-71=0
Para completar o quadrado em cada grupo, adicionamos e subtraímos os termos necessários: em x^2+2x usamos 1 e em y^2-4y usamos 4.

Passo 3

Inserindo essas correções, fica
9l[(x+1)^2-1r]+16l[(y-2)^2-4r]-71=0,
ou seja,
9(x+1)^2-9+16(y-2)^2-64-71=0
Somando os termos constantes:
-9-64-71=-144, obtemos
9(x+1)^2+16(y-2)^2-144=0

Passo 4

Isolando os quadrados e dividindo por 144, chegamos à forma padrão da elipse:
(x+1)^216+(y-2)^29=1
O centro é (-1,2), o semi-eixo maior é a=4 (direção x) e o semi-eixo menor é b=3 (direção y).

Resposta

(x+1)^216+(y-2)^29=1,
que é uma elipse.

Exercícios relacionados