Determine

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar as derivadas parciais de f em relação a x e y , ou seja, partial fpartial x e partial fpartial y . A função f(x, y) é definida por partes:
f(x, y) = x + y^42x^2 + y^2 & se (x, y) neq (0,0) 0 & se (x, y) = (0,0)
Para resolver isso, vamos precisar usar as regras de derivação de funções de várias variáveis, especialmente as derivadas parciais, que são como as derivadas normais, mas considerando uma variável de cada vez.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar partial fpartial x quando (x, y) neq (0,0) . Aqui, f(x, y) = x + y^42x^2 + y^2 .
Para derivar isso em relação a x , usamos a regra do quociente:
partialpartial x ( uv ) = v cdot partial upartial x - u cdot partial vpartial xv^2
Onde u = x + y^4 e v = 2x^2 + y^2 .
Calculando as derivadas:
partial upartial x = 1
partial vpartial x = 4x
Aplicando na fórmula:
partial fpartial x = (2x^2 + y^2) cdot 1 - (x + y^4) cdot 4x(2x^2 + y^2)^2 = 2x^2 + y^2 - 4x^2 - 4xy^4(2x^2 + y^2)^2 = -2x^2 + y^2 - 4xy^4(2x^2 + y^2)^2

Passo 3

Agora, vamos encontrar partial fpartial y para (x, y) neq (0,0) .
Usando novamente a regra do quociente:
partial fpartial y = v cdot partial upartial y - u cdot partial vpartial yv^2
Onde u = x + y^4 e v = 2x^2 + y^2 .
Calculando as derivadas:
partial upartial y = 4y^3
partial vpartial y = 2y
Aplicando na fórmula:
partial fpartial y = (2x^2 + y^2) cdot 4y^3 - (x + y^4) cdot 2y(2x^2 + y^2)^2 = 8x^2y^3 + 4y^5 - 2xy - 2y^5(2x^2 + y^2)^2 = 8x^2y^3 - 2xy + 2y^5(2x^2 + y^2)^2

Passo 4

Agora precisamos verificar as derivadas parciais no ponto (0,0) . Para isso, usamos a definição de derivada parcial:
partial fpartial x(0,0) = limh to 0 f(h, 0) - f(0,0)h
partial fpartial y(0,0) = limk to 0 f(0, k) - f(0,0)k
Vamos calcular cada uma:
Para partial fpartial x(0,0) :
f(h, 0) = h + 02h^2 + 0 = h2h^2 = 12h
Então,
partial fpartial x(0,0) = limh to 0 12h - 0h = limh to 0 12h^2
Este limite tende ao infinito, o que significa que partial fpartial x(0,0) não existe.
Para partial fpartial y(0,0) :
f(0, k) = 0 + k^40 + k^2 = k^4k^2 = k^2
Então,
partial fpartial y(0,0) = limk to 0 k^2 - 0k = limk to 0 k = 0

Resposta

As derivadas parciais de f são:
partial fpartial x(x, y) = -2x^2 + y^2 - 4xy^4(2x^2 + y^2)^2 para (x, y) neq (0,0)
partial fpartial y(x, y) = 8x^2y^3 - 2xy + 2y^5(2x^2 + y^2)^2 para (x, y) neq (0,0)
No ponto (0,0) :
partial fpartial x(0,0) não existe ã
partial fpartial y(0,0) = 0

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