Seja:
f(x, y)=x^2 y^2x^2+y^2
Calcule o limite, se existir
lim (x, y) (0,0) partial fpartial x(x, y)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=x^2y^2x^2+y^2,
e pede o limite de partial fpartial x(x,y) quando (x,y)to(0,0). O conteúdo é cálculo de derivada parcial e limite em duas variáveis.

Passo 2

Para (x,y)neq(0,0), aplicamos a regra do quociente a
f(x,y)=u(x,y)v(x,y), u=x^2y^2,;v=x^2+y^2
Temos
partial fpartial x =partial upartial x,v - u,partial vpartial xv^2 =2x y^2(x^2+y^2) - x^2y^2cdot 2x(x^2+y^2)^2

Passo 3

No numerador, fatoramos 2x y^2:
2x y^2l(x^2+y^2-x^2r) =2x y^4
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partial fpartial x(x,y) =2x y^4(x^2+y^2)^2

Passo 4

Para estudar
lim(x,y)to(0,0)2x y^4(x^2+y^2)^2,
usamos coordenadas polares ou estimativa. Se r=raizx^2+y^2, então |x|<= r e |y|<= r, de modo que
|2x y^4(x^2+y^2)^2| <= 2,rcdot r^4r^4=2r
Como rto0 quando (x,y)to(0,0), o valor absoluto tende a zero.

Passo 5

Pela estimativa acima,
lim(x,y)to(0,0)partial fpartial x(x,y)=0

Resposta

0

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