Beleza, vamos dar uma olhada na questão. A gente precisa estudar a continuidade da função f(x, y) que é definida de forma diferente dependendo se o ponto (x, y) é (0,0) ou não. A continuidade, em termos simples, significa que a função não tem “saltos” ou “buracos” no ponto que estamos analisando. Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de limite e continuidade de funções de várias variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que para a função f(x, y) ser contínua no ponto (0,0), o limite de f(x, y) quando (x, y) se aproxima de (0,0) deve ser igual ao valor da função nesse ponto. Ou seja,
lim(x, y) to (0,0) f(x, y) = f(0,0)
Sabemos que f(0,0) = 1 , então precisamos calcular o limite de f(x, y) quando (x, y) se aproxima de (0,0).
Passo 3
Vamos calcular o limite:
lim(x, y) to (0,0) x^2 y^32 x^2+y^2
Para facilitar, vamos mudar para coordenadas polares, onde x = r costheta e y = r sintheta . Isso ajuda a analisar o comportamento da função quando r (a distância até a origem) tende a zero.
Agora, observamos que o numerador tem um termo r^3 que tende a zero quando r tende a zero, enquanto o denominador fica limitado, pois 2 cos^2theta + sin^2theta é sempre uma combinação de senos e cossenos que não explode para infinito.