Determine

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de
g(x)= 0,&x<1, sin(x-1),&x>=1
O conteúdo é transformada de Laplace de função retardada (ou deslocada). Para resolver vamos usar a definição da transformada e uma mudança de variável para revelar a forma padrão.

Passo 2

Escrevendo a definição da transformada de Laplace, temos
mathscrLg(x)(s) =integral0^inftyg(x)e^-s x,dx
Como g(x)=0 em [0,1), o integrando só contribui a partir de x=1. Logo
mathscrLg(x)(s) =integral1^inftysin(x-1),e^-s x,dx

Passo 3

Para simplificar, fazemos a mudança de variável
u = x-1, x = u+1, dx = du
Quando x=1 temos u=0 e quando xtoinfty temos utoinfty. Substituindo na integral:
integral1^inftysin(x-1)e^-s x,dx =e^-sintegral0^inftysin(u),e^-s u,du

Passo 4

Reconhecemos que
integral0^inftye^-s usin(u),du =1s^2+1,
que é a transformada de Laplace de sin u. Portanto
mathscrLg(x)(s) =e^-s,1s^2+1

Resposta

mathscrLg(x)(s) =e^-ss^2+1

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