É possível, finalmente, combinar as duas possíveis extensões da noção do integral
Se f(x)=1raizx para 0 <= x <= 1 e f(x)=1x^2 para x >= 1, encontre integral0^infty f(x) d x (depois de decidir o que isto significa).

Passo 1

O enunciado pede para calcular o integral impróprio
integral0^inftyf(x),dx
onde
f(x)= x^-1/2,&0<= x<=1, x^-2,&x>=1
O conteúdo é o de integrais impróprias, que aqui se combinam em duas partes: uma singular em x=0 e outra no limite infinito.

Passo 2

Para dar sentido a integral0^inftyf(x),dx escrevemos
integral0^inftyf(x),dx =integral0^1x^-1/2,dx+integral1^inftyx^-2,dx,
cada termo definido como limite de integrais em intervalos finitos.

Passo 3

Calculamos o primeiro termo como
integral0^1x^-1/2,dx =limato0^+integrala^1x^-1/2,dx =limato0^+l[2x^1/2r]a^1 =2l(1-0r) =2

Passo 4

Calculamos o segundo termo como
integral1^inftyx^-2,dx =limbtoinftyintegral1^bx^-2,dx =limbtoinftyl[-x^-1r]1^b =limbtoinftyl(-b^-1+1r) =1

Passo 5

Somando as duas parcelas, obtemos
integral0^inftyf(x),dx=2+1=3

Resposta

3

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