Determine:
.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limx to inftyl(raiz5x^2+3x-raiz5x^2+2xr)
O conteúdo aqui é limites no infinito de diferença de radicais, e vamos precisar racionalizar a expressão usando o conjugado e depois fatorar x para extrair o comportamento dominante.

Passo 2

Racionalizando pelo conjugado, escrevemos
raiz5x^2+3x-raiz5x^2+2x =l(raiz5x^2+3x-raiz5x^2+2xr)l(raiz5x^2+3x+raiz5x^2+2xr)raiz5x^2+3x+raiz5x^2+2x
e no numerador obtemos
5x^2+3x - l(5x^2+2xr)=x,
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raiz5x^2+3x-raiz5x^2+2x =xraiz5x^2+3x+raiz5x^2+2x

Passo 3

Para lidar com o limite, dividimos numerador e denominador por x:
xraiz5x^2+3x+raiz5x^2+2x =1dfracraiz5x^2+3x+raiz5x^2+2xx =1raiz5x^2+3xx^2+raiz5x^2+2xx^2 =1raiz5+3x+raiz5+2x

Passo 4

Quando x to infty temos tfrac3xto0 e tfrac2xto0, então
raiz5+tfrac3x+raiz5+tfrac2x;longrightarrow;2raiz5,
e portanto o limite vale
12raiz5

Resposta

12raiz5

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