( 0,8 ponto)
(a) (0,2) Dê a definição de conjunto aberto em R e de conjunto fechado em R;
(b) (0,2) Mostre que se A subset R é aberto então R-A é fechado;
(c) (0,2) O que é a fronteira partial X de um conjunto X subset R ?
(d) (0,2) Dê exemplo de um conjunto X em que partial X é aberto em R.

Passo 1

O enunciado pede:
(1) Definir conjunto aberto e fechado em R.
(2) Mostrar que, se AsubsetR é aberto, então R-A é fechado.
(3) Definir a fronteira partial X de XsubsetR.
(4) Dar um exemplo de X cujo partial X seja aberto em R.

Passo 2

Definimos primeiro conjunto aberto e conjunto fechado em R:
– Dizemos que AsubsetR é aberto se, para todo ponto xin A, existe epsilon>0 tal que
(x-epsilon,;x+epsilon)subset A
– Dizemos que FsubsetR é fechado se o seu complementar R-F é aberto.

Passo 3

Para mostrar que, se A é aberto então R-A é fechado, basta usar a definição de fechado:
R-A é fechado se o complementar de R-A, que é A, for aberto. Como A é aberto por hipótese, concluímos que R-A é fechado.

Passo 4

A fronteira partial X de um conjunto XsubsetR é o conjunto de pontos xinR tais que toda vizinhança de x intersecta tanto X quanto o complementar de X. Em notação:
partial X = ,xinRmid forallepsilon>0:,(x-epsilon,x+epsilon)cap Xneqemptyset e (x-epsilon,x+epsilon)cap(R-X)neqemptyset

Passo 5

Um exemplo clássico é tomar
X = Q,
o conjunto dos números racionais. Sabemos que Q=R e que o interior de Q é vazio, portanto
partialQ =Q-int(Q) =R-emptyset =R
Como R é um aberto em R, este exemplo satisfaz a condição.

Resposta

(a) AsubsetR é aberto se, para todo xin A, existe epsilon>0 com (x-epsilon,x+epsilon)subset A. FsubsetR é fechado se R-F é aberto.
(b) Se A é aberto então R-A é fechado, pois o complementar de R-A é A, que é aberto.
(c) partial X=,xinRmidforallepsilon>0:,(x-epsilon,x+epsilon)cap Xneqemptyset e (x-epsilon,x+epsilon)cap(R-X)neqemptyset
(d) Tomando X=Q, tem-se partial X=R, que é aberto em R.

Exercícios relacionados