( 0,8 ponto)
(a) Dê a definição de conjunto aberto em e de conjunto fechado em ;
(b) Mostre que se é aberto então é fechado;
(c) que é a fronteira de um conjunto ?
(d) Dê exemplo de um conjunto em que é aberto em .
Passo 1
O enunciado pede:
(1) Definir conjunto aberto e fechado em .
(2) Mostrar que, se é aberto, então é fechado.
(3) Definir a fronteira de .
(4) Dar um exemplo de cujo seja aberto em .
Passo 2
Definimos primeiro conjunto aberto e conjunto fechado em :
– Dizemos que é aberto se, para todo ponto , existe tal que
– Dizemos que é fechado se o seu complementar é aberto.
Passo 3
Para mostrar que, se é aberto então é fechado, basta usar a definição de fechado: é fechado se o complementar de , que é , for aberto. Como é aberto por hipótese, concluímos que é fechado.
Passo 4
A fronteira de um conjunto é o conjunto de pontos tais que toda vizinhança de intersecta tanto quanto o complementar de . Em notação:
Passo 5
Um exemplo clássico é tomar
o conjunto dos números racionais. Sabemos que e que o interior de Q é vazio, portanto
partialQ =Q-int(Q) =R-emptyset =R
Como R é um aberto em R, este exemplo satisfaz a condição.
Resposta
(a) AsubsetR é aberto se, para todo xin A, existe epsilon>0 com (x-epsilon,x+epsilon)subset A. FsubsetR é fechado se R-F é aberto.
(b) Se A é aberto então R-A é fechado, pois o complementar de R-A é A, que é aberto.
(c) partial X=,xinRmidforallepsilon>0:,(x-epsilon,x+epsilon)cap Xneqemptyset e (x-epsilon,x+epsilon)cap(R-X)neqemptyset
(d) Tomando X=Q, tem-se partial X=R, que é aberto em R.