Exercício 16 (F.2.2 ex.2)
Mostre que:
sumn=1^infty (-1)^n+1(2 n-1)^3=pi^332. (Use viii do exercício anterior)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
sumn=1^infty(-1)^n+1(2n-1)^3=pi^332
O conteúdo necessário é série de Fourier, e vamos usar o resultado do item viii do exercício anterior, que dá uma fórmula fechada para
sumn=1^infty(-1)^n+1n^3sin(nx)

Passo 2

Do item viii sabemos que, para xin[0,pi], vale a identidade
sumn=1^infty(-1)^n+1n^3sin(nx) =pi^2x6 -pi x^24 +x^312

Passo 3

Substituindo x=tfracpi2 no lado direito, obtemos
pi^2(tfracpi2)6 -pi(tfracpi2)^24 +(tfracpi2)^312 =pi^312 -pi^316 +pi^396 =pi^332

Passo 4

No lado esquerdo, ao avaliar x=tfracpi2, temos
sumn=1^infty(-1)^n+1n^3sin!l(ntfracpi2r)
Como sin(npi/2)=0 para n par e sin((2m-1)pi/2)=(-1)^m-1, o somatório reduz-se a
summ=1^infty(-1)^(2m-1)+1(2m-1)^3,(-1)^m-1 =summ=1^infty(-1)^m-1(2m-1)^3 =sumn=1^infty(-1)^n+1(2n-1)^3

Passo 5

Igualando o lado esquerdo ao lado direito obtemos
sumn=1^infty(-1)^n+1(2n-1)^3 =pi^332

Resposta

sumn=1^infty(-1)^n+1(2n-1)^3=pi^332

Exercícios relacionados