Determine f(t) se F(s)=10(s^2+119)(s+5)(s^2+10 s+169).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar $ f(t) $ a partir de $ F(s) = \frac{10\left(s{2}+119\right)}{(s+5)\left(s{2}+10 s+169\right)} $. Aqui, estamos lidando com Transformadas de Laplace, especificamente a transformada inversa para voltar de $ F(s) $ para $ f(t) $. Para isso, vamos precisar usar decomposição em frações parciais e conhecer bem as propriedades das transformadas de Laplace.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão de $ F(s) $ usando decomposição em frações parciais. Isso significa escrever $ F(s) $ como uma soma de termos mais simples que a gente sabe inverter facilmente. A expressão que temos é:
F(s)
Vamos tentar escrever isso da forma:
F(s)
Aqui, $ A $, $ B $ e $ C $ são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Para achar os valores de $ A $, $ B $ e $ C $, vamos multiplicar ambos os lados da equação acima pelo denominador comum A :
B
Agora, vamos expandir o lado direito:
C
Agrupando os termos semelhantes:
(s+5)(s^2+10 s+169)

Passo 4

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes nos dois lados da equação:
  1. Coeficiente de $ s^{2} $:
s^2
  1. Coeficiente de $ s $:
A + B = 10
  1. Termo constante:
s
Temos um sistema de equações para resolver.

Passo 5

Vamos resolver o sistema passo a passo.
Da primeira equação:
A + B = 10 implies B = 10 - A
Substituindo $ B = 10 - A $ na segunda equação:
B = 10 - A
Temos:
10A + 5(10 - A) + C = 0 implies 10A + 50 - 5A + C = 0 implies 5A + C = -50
Agora, substituímos $ A $ e $ C $ na terceira equação:
C = -50 - 5A
Então:
A
C

Passo 6

Agora que encontramos $ A = 10 $, $ B = 0 $ e $ C = -100 $, substituímos de volta na decomposição:
A = 10

Passo 7

Vamos simplificar a segunda fração. Observamos que o denominador $ s^{2} + 10s + 169 $ pode ser completado para o quadrado:
s^2 + 10s + 169
Então,
s^2 + 10s + 25 + 144 = (s + 5)^2 + 12^2
Agora, reescrevemos $ F(s) $:
s^2 + 10s + 169 = (s + 5)^2 + 12^2

Passo 8

Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace em cada termo separadamente.
  1. Para $ \frac{10}{s+5} $, sabemos que:
10s+5
Então:
L^-11s+a = e^-a t
  1. Para $ \frac{100}{(s + 5)^{2} + 12^{2}} $, usamos:
L^-110s+5 = 10 e^-5 t
Aqui, $ a = 5 $ e $ \omega = 12 $. Mas temos $ 100 $ no numerador, então ajustamos:
100(s + 5)^2 + 12^2
Portanto:
L^-1omega(s + a)^2 + omega^2 = e^-a t sin(omega t)

Resposta

Assim, a função $ f(t) $ é:
f(t)

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