Determine
se
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar $ f(t) $ a partir de $ F(s) = \frac{10\left(s{2}+119\right)}{(s+5)\left(s{2}+10 s+169\right)} $. Aqui, estamos lidando com Transformadas de Laplace, especificamente a transformada inversa para voltar de $ F(s) $ para $ f(t) $. Para isso, vamos precisar usar decomposição em frações parciais e conhecer bem as propriedades das transformadas de Laplace.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão de $ F(s) $ usando decomposição em frações parciais. Isso significa escrever $ F(s) $ como uma soma de termos mais simples que a gente sabe inverter facilmente. A expressão que temos é:
Vamos tentar escrever isso da forma:
Aqui, $ A $, $ B $ e $ C $ são constantes que precisamos encontrar.
Passo 3
Para achar os valores de $ A $, $ B $ e $ C $, vamos multiplicar ambos os lados da equação acima pelo denominador comum
:
Agora, vamos expandir o lado direito:
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 4
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes nos dois lados da equação:
- Coeficiente de $ s^{2} $:
- Coeficiente de $ s $:
- Termo constante:
Temos um sistema de equações para resolver.
Passo 5
Vamos resolver o sistema passo a passo.
Da primeira equação:
Substituindo $ B = 10 - A $ na segunda equação:
Temos:
Agora, substituímos $ A $ e $ C $ na terceira equação:
Então:
Passo 6
Agora que encontramos $ A = 10 $, $ B = 0 $ e $ C = -100 $, substituímos de volta na decomposição:
Passo 7
Vamos simplificar a segunda fração. Observamos que o denominador $ s^{2} + 10s + 169 $ pode ser completado para o quadrado:
Então,
Agora, reescrevemos $ F(s) $:
Passo 8
Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace em cada termo separadamente.
- Para $ \frac{10}{s+5} $, sabemos que:
Então:
- Para $ \frac{100}{(s + 5)^{2} + 12^{2}} $, usamos:
Aqui, $ a = 5 $ e $ \omega = 12 $. Mas temos $ 100 $ no numerador, então ajustamos:
Portanto:
Resposta
Assim, a função $ f(t) $ é: