Use a transformada operacional adequada da Tabela 12.2 para determinar a transformada de Laplace de cada função:
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para encontrar a transformada de Laplace da função $ t^{2} e^{-a t} $. Isso está relacionado ao estudo das transformadas de Laplace, uma ferramenta matemática super útil para resolver equações diferenciais e sistemas dinâmicos. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as propriedades das transformadas de Laplace, principalmente como elas se aplicam a funções que são multiplicadas por potências de $ t $ e exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a definição básica da transformada de Laplace. A transformada de Laplace de uma função $ f(t) $ é dada por:
No nosso caso, $ f(t) = t^{2} e^{-a t} $. Então, precisamos calcular:
Passo 3
Vamos simplificar a expressão dentro da integral. Note que temos $ e^{-s t} $ multiplicado por $ e^{-a t} $, o que pode ser combinado:
Então, a integral fica:
Passo 4
Agora, precisamos lembrar de uma fórmula padrão para a transformada de Laplace de $ t^{n} e^{-a t} $. A fórmula geral é:
Onde $ n! $ é o fatorial de $ n $.
Passo 5
No nosso caso, $ n = 2 $. Então, substituindo na fórmula:
Resposta
A transformada de Laplace de $ t^{2} e^{-a t} $ é: