Determine f(t) se F(s)=(5 s^2+29 s+32)(s+2)(s+4).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função no domínio de $ s $, que é $ F(s) = \frac{5 s^{2} + 29 s + 32}{(s+2)(s+4)} $, e precisamos descobrir qual é a função $ f(t) $ no tempo. Para isso, vamos usar o conceito de Transformada de Laplace, que é uma ferramenta matemática que ajuda a transformar equações diferenciais em equações algébricas mais fáceis de resolver. Vamos precisar fazer uma fração parcial e depois aplicar a Transformada Inversa de Laplace.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar $ F(s) $ usando frações parciais. Isso significa que vamos escrever $ F(s) $ como a soma de duas frações mais simples. A ideia é que isso facilita a aplicação da transformada inversa depois. Então, queremos encontrar números $ A $ e $ B $ tais que:
F(s)

Passo 3

Agora, vamos determinar os valores de $ A $ e $ B $. Para isso, multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum A para eliminar as frações:
B
Expandindo os termos do lado direito:
(s+2)(s+4)
Agrupando os termos semelhantes:
5 s^2 + 29 s + 32 = A(s+4) + B(s+2)
Agora, igualamos os coeficientes dos mesmos termos dos dois lados:
5 s^2 + 29 s + 32 = A s + 4A + B s + 2B
Resolvendo esse sistema de equações, podemos, por exemplo, multiplicar a primeira equação por 2:
5 s^2 + 29 s + 32 = (A + B) s + (4A + 2B)
Subtraindo a segunda equação:
A + B = 29 4A + 2B = 32
Substituindo $ A $ na primeira equação:
2A + 2B = 58

Passo 4

Agora que temos os valores de $ A $ e $ B $, podemos escrever $ F(s) $ como:
A

Passo 5

Para encontrar $ f(t) $, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace em cada termo separadamente. Sabemos que:
f(t)
Então, aplicando isso aos nossos termos:
L^-11s+a = e^-a t

Resposta

f(t) = -13, e^-2 t + 42, e^-4 t

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