Determine
se
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função no domínio de $ s $, que é $ F(s) = \frac{5 s^{2} + 29 s + 32}{(s+2)(s+4)} $, e precisamos descobrir qual é a função $ f(t) $ no tempo. Para isso, vamos usar o conceito de Transformada de Laplace, que é uma ferramenta matemática que ajuda a transformar equações diferenciais em equações algébricas mais fáceis de resolver. Vamos precisar fazer uma fração parcial e depois aplicar a Transformada Inversa de Laplace.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar $ F(s) $ usando frações parciais. Isso significa que vamos escrever $ F(s) $ como a soma de duas frações mais simples. A ideia é que isso facilita a aplicação da transformada inversa depois. Então, queremos encontrar números $ A $ e $ B $ tais que:
Passo 3
Agora, vamos determinar os valores de $ A $ e $ B $. Para isso, multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum
para eliminar as frações:
Expandindo os termos do lado direito:
Agrupando os termos semelhantes:
Agora, igualamos os coeficientes dos mesmos termos dos dois lados:
Resolvendo esse sistema de equações, podemos, por exemplo, multiplicar a primeira equação por 2:
Subtraindo a segunda equação:
Substituindo $ A $ na primeira equação:
Passo 4
Agora que temos os valores de $ A $ e $ B $, podemos escrever $ F(s) $ como:
Passo 5
Para encontrar $ f(t) $, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace em cada termo separadamente. Sabemos que:
Então, aplicando isso aos nossos termos: