Determine
se
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a função $ f(t) $ sabendo que a transformada de Laplace dela é:
Para isso, vamos usar conceitos de transformada de Laplace, divisão de polinômios e frações parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos observar os graus do numerador e do denominador. O numerador é um polinômio de grau 3 ($ s^{3}
s^{2} $). Como o grau do numerador é maior ou igual ao do denominador, precisamos fazer uma divisão de polinômios para simplificar a expressão.
Passo 3
Vamos dividir $ 2 s^{3} + 8 s^{2} + 2 s - 4 $ por $ s^{2} + 5 s + 4 $. Fazendo a divisão, obtemos:
Assim, a expressão fica:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos focar na fração
. Primeiro, vamos fatorar o denominador:
Então, a fração fica:
Passo 5
Vamos decompor essa fração em frações parciais. Assumimos que:
Multiplicando ambos os lados por
:
Para encontrar $ A $ e $ B $, escolhemos valores de $ s $:
- Se $ s = -1 $:
- Se $ s = -4 $:
Então, a decomposição fica:
Passo 6
Agora, vamos substituir de volta na expressão de $ F(s) $:
Para encontrar $ f(t) $, precisamos aplicar a transformada inversa de Laplace em cada termo:
- A transformada inversa de $ -12 $ é $ -12 \delta(t) $, mas geralmente desconsideramos constantes multiplicadas por delta de Dirac em problemas práticos.
- A transformada inversa de $ \frac{1}{s + a} $ é $ e^{-a t} $.
Aplicando isso: