Determine f(t) se F(s)=(2 s^3+8 s^2+2 s-4)(s^2+5 s+4).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a função $ f(t) $ sabendo que a transformada de Laplace dela é:
f(t)
Para isso, vamos usar conceitos de transformada de Laplace, divisão de polinômios e frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos observar os graus do numerador e do denominador. O numerador é um polinômio de grau 3 ($ s^{3} s^3 é s^{2} $). Como o grau do numerador é maior ou igual ao do denominador, precisamos fazer uma divisão de polinômios para simplificar a expressão.

Passo 3

Vamos dividir $ 2 s^{3} + 8 s^{2} + 2 s - 4 $ por $ s^{2} + 5 s + 4 $. Fazendo a divisão, obtemos:
2 s^3 + 8 s^2 + 2 s - 4
Assim, a expressão fica:
s^2 + 5 s + 4
Simplificando:
2 s^3 + 8 s^2 + 2 s - 4s^2 + 5 s + 4 = 2 s + (-2 s - 12) + 44s^2 + 5 s + 4

Passo 4

Agora, vamos focar na fração 44s^2 + 5 s + 4. Primeiro, vamos fatorar o denominador:
s^2 + 5 s + 4 = (s + 1)(s + 4)
Então, a fração fica:
44(s + 1)(s + 4)

Passo 5

Vamos decompor essa fração em frações parciais. Assumimos que:
44(s + 1)(s + 4) = As + 1 + Bs + 4
Multiplicando ambos os lados por (s + 1)(s + 4):
44 = A(s + 4) + B(s + 1)
Para encontrar $ A $ e $ B $, escolhemos valores de $ s $:
  • Se $ s = -1 $:
A
  • Se $ s = -4 $:
B
Então, a decomposição fica:
s

Passo 6

Agora, vamos substituir de volta na expressão de $ F(s) $:
F(s)
Para encontrar $ f(t) $, precisamos aplicar a transformada inversa de Laplace em cada termo:
  • A transformada inversa de $ -12 $ é $ -12 \delta(t) $, mas geralmente desconsideramos constantes multiplicadas por delta de Dirac em problemas práticos.
  • A transformada inversa de $ \frac{1}{s + a} $ é $ e^{-a t} $.
Aplicando isso:
F(s) = -12 + 44/3s + 1 - 44/3s + 4

Resposta

f(t) = -12 + 443 e^-t - 443 e^-4 t

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