Determine f(t) se F(s)=(4 s^2+7 s+1)s(s+1)^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para determinar a função f(t) sabendo que sua transformada de Laplace é:
F(s) = 4 s^2 + 7 s + 1s(s + 1)^2
Para resolver isso, vamos usar o conteúdo de transformadas de Laplace, especificamente a técnica de frações parciais. Isso vai ajudar a simplificar F(s) e encontrar f(t) de forma mais direta.

Passo 2

Primeiro, precisamos decompor F(s) em frações mais simples. A ideia é escrever F(s) como uma soma de frações cujos denominadores são fatores do denominador original. Então, vamos assumir que:
F(s) = As + Bs + 1 + C(s + 1)^2
Aqui, A, B e C são constantes que vamos determinar.

Passo 3

Agora, vamos eliminar os denominadores multiplicando ambos os lados da equação por s(s + 1)^2:
4 s^2 + 7 s + 1 = A(s + 1)^2 + B s (s + 1) + C s
Vamos expandir os termos do lado direito para facilitar a comparação.

Passo 4

Expandindo cada termo:
  • A(s + 1)^2 = A(s^2 + 2s + 1) = A s^2 + 2A s + A
  • B s (s + 1) = B s^2 + B s
  • C s = C s
Somando tudo:
A s^2 + 2A s + A + B s^2 + B s + C s = (A + B) s^2 + (2A + B + C) s + A

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
Para s^2:
A + B = 4
Para s:
2A + B + C = 7
Para o termo constante:
A = 1

Passo 6

Vamos resolver o sistema de equações:
  1. Da última equação, já sabemos que A = 1.
  2. Substituindo A = 1 na primeira equação: 1 + B = 4 Rightarrow B = 3
  3. Substituindo A = 1 e B = 3 na segunda equação: 2(1) + 3 + C = 7 Rightarrow 2 + 3 + C = 7 Rightarrow C = 2

Passo 7

Agora que temos os valores de A, B e C, substituímos de volta na decomposição das frações parciais:
F(s) = 1s + 3s + 1 + 2(s + 1)^2

Passo 8

Finalmente, aplicamos a transformada inversa de Laplace a cada termo separado. Sabemos que:
L^-11s = 1
L^-11s + a = e^-a t
L^-11(s + a)^2 = t e^-a t
Aplicando isso aos nossos termos:
f(t) = 1 + 3 e^-t + 2 t e^-t

Resposta

A função f(t) é dada por:
f(t) = 1 + 3 e^-t + 2 t e^-t

Exercícios relacionados