Determine
se
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para determinar a função
sabendo que sua transformada de Laplace é:
Para resolver isso, vamos usar o conteúdo de transformadas de Laplace, especificamente a técnica de frações parciais. Isso vai ajudar a simplificar
e encontrar
de forma mais direta.
Passo 2
Primeiro, precisamos decompor
em frações mais simples. A ideia é escrever
como uma soma de frações cujos denominadores são fatores do denominador original. Então, vamos assumir que:
Aqui,
,
e
são constantes que vamos determinar.
Passo 3
Agora, vamos eliminar os denominadores multiplicando ambos os lados da equação por
:
Vamos expandir os termos do lado direito para facilitar a comparação.
Passo 4
Expandindo cada termo:
Somando tudo:
Passo 5
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
Para
:
Para
:
Para o termo constante:
Passo 6
Vamos resolver o sistema de equações:
- Da última equação, já sabemos que
. - Substituindo
na primeira equação: - Substituindo
e na segunda equação:
Passo 7
Agora que temos os valores de
,
e
, substituímos de volta na decomposição das frações parciais:
Passo 8
Finalmente, aplicamos a transformada inversa de Laplace a cada termo separado. Sabemos que:
Aplicando isso aos nossos termos:
Resposta
A função
é dada por: