Determine
ou
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar
ou
. Estamos lidando com derivadas em relação ao tempo
, então vamos usar o conceito de derivação implícita e funções compostas. Precisaremos saber como diferenciar funções que dependem de outras funções.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as relações dadas:
Aqui, parece que
está definido de duas maneiras diferentes, o que pode ser uma confusão. Vamos supor que a última equação deva ser
para evitar conflito. Assim, temos:
Queremos encontrar
.
Passo 3
Para encontrar
, vamos usar a regra da cadeia e derivação implícita porque
está definido de forma implícita em termos de
e
.
Primeiro, diferenciamos a equação
em relação a
:
Passo 4
Sabemos que
, então
.
Além disso, temos
, então
.
Vamos substituir esses valores na equação diferenciada:
Passo 5
Simplificando a expressão:
Podemos fatorar
:
Passo 6
Simplificando dentro dos colchetes:
Substituindo de volta:
Passo 7
Fatorando 2t no numerador:
Então:
Passo 8
Agora, isolamos
:
Simplificando mais, se necessário, mas como já determinamos
, podemos concluir.
Resposta
A derivada
é igual a
.