Determine d zd t ou d wd t.
z=x e^x / z, x=t^2, y=1-t, z=1+2 t

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar dzdt ou dwdt. Estamos lidando com derivadas em relação ao tempo t, então vamos usar o conceito de derivação implícita e funções compostas. Precisaremos saber como diferenciar funções que dependem de outras funções.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as relações dadas:
z = x e^xz, x = t^2, y = 1 - t, z = 1 + 2t
Aqui, parece que z está definido de duas maneiras diferentes, o que pode ser uma confusão. Vamos supor que a última equação deva ser w = 1 + 2t para evitar conflito. Assim, temos:
z = x e^xz, x = t^2, y = 1 - t, w = 1 + 2t
Queremos encontrar dzdt.

Passo 3

Para encontrar dzdt, vamos usar a regra da cadeia e derivação implícita porque z está definido de forma implícita em termos de x e z.
Primeiro, diferenciamos a equação z = x e^xz em relação a t:
dzdt = dxdt e^xz + x e^xz ( 1z dxdt - xz^2 dzdt )

Passo 4

Sabemos que x = t^2, então dxdt = 2t.
Além disso, temos z = 1 + 2t, então dzdt = 2.
Vamos substituir esses valores na equação diferenciada:
2 = 2t e^t^21 + 2t + t^2 e^t^21 + 2t ( 11 + 2t cdot 2t - t^2(1 + 2t)^2 cdot 2 )

Passo 5

Simplificando a expressão:
2 = 2t e^t^21 + 2t + t^2 e^t^21 + 2t ( 2t1 + 2t - 2t^2(1 + 2t)^2 )
Podemos fatorar e^t^21 + 2t:
2 = e^t^21 + 2t [ 2t + t^2 ( 2t(1 + 2t) - 2t^2(1 + 2t)^2 ) ]

Passo 6

Simplificando dentro dos colchetes:
2t(1 + 2t) - 2t^2 = 2t + 4t^2 - 2t^2 = 2t + 2t^2
Substituindo de volta:
2 = e^t^21 + 2t [ 2t + t^2 cdot 2t + 2t^2(1 + 2t)^2 ]

Passo 7

Fatorando 2t no numerador:
2t + 2t^2 = 2t(1 + t)
Então:
2 = e^t^21 + 2t [ 2t + t^2 cdot 2t(1 + t)(1 + 2t)^2 ]

Passo 8

Agora, isolamos e^t^21 + 2t:
e^t^21 + 2t = 22t + t^2 cdot 2t(1 + t)(1 + 2t)^2
Simplificando mais, se necessário, mas como já determinamos dzdt = 2, podemos concluir.

Resposta

A derivada dzdt é igual a 2.

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