Determine
e
.
,
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar as derivadas parciais de $ z $ em relação a $ s $ e $ t $. A função que temos é:
E as relações entre $ x, y $ e $ s, t $ são:
Vamos precisar usar a regra da cadeia para calcular essas derivadas parciais, já que $ z $ depende de $ \theta $ e $ \phi $, que por sua vez dependem de $ x $ e $ y $, que estão em função de $ s $ e $ t $.
Passo 2
Primeiro, precisamos expressar $ z $ em termos de $ s $ e $ t $. Para isso, vamos assumir que $ \theta $ e $ \phi $ são funções de $ x $ e $ y $, as quais já estão em função de $ s $ e $ t $.
Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos aplicar a regra da cadeia para calcular $ \frac{\partial z}{\partial s} $ e $ \frac{\partial z}{\partial t} $. A regra da cadeia para funções de várias variáveis nos diz que:
Para $ \frac{\partial z}{\partial s} $:
E para $ \frac{\partial z}{\partial t} $:
Passo 4
Vamos calcular cada uma dessas derivadas:
Primeiro, as derivadas parciais de $ z $:
Agora, precisamos das derivadas de $ \theta $ e $ \phi $ em relação a $ x $ e $ y $. Porém, sem informações adicionais sobre como $ \theta $ e $ \phi $ dependem de $ x $ e $ y $, vamos assumir que $ \theta = \theta(x, y) $ e $ \phi = \phi(x, y) $ são funções conhecidas.
Também, as derivadas de $ x $ e $ y $ em relação a $ s $ e $ t $:
Resposta
Sem informações específicas sobre como $ \theta $ e $ \phi $ dependem de $ x $ e $ y $, não podemos calcular valores numéricos para $ \frac{\partial z}{\partial s} $ e $ \frac{\partial z}{\partial t} $. Contudo, as derivadas parciais gerais são dadas por:
Essas são as expressões gerais para as derivadas parciais de $ z $ em relação a $ s $ e $ t $.