Determine:
(1pt) dd x integralraizx^x^3 tan (y)y d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada
ddxintegralraizx^x^3tan(y)y,dy
O conteúdo principal é a regra de Leibniz para derivada de integral com limites que dependem de x.

Passo 2

A regra de Leibniz afirma que, se
F(x)=integrala(x)^b(x)f(y),dy,
então
F'(x)=f(b(x)),b'(x);-;f(a(x)),a'(x)

Passo 3

Aqui temos
,a(x)=raizx=x^1/2 e ,b(x)=x^3.
Logo
,a'(x)=12raizx e ,b'(x)=3x^2.

Passo 4

A função integranda é
,f(y)=tan(y)y.
Substituindo na regra de Leibniz,
ddxintegralraizx^x^3tan(y)y,dy =tan(x^3)x^3cdot 3x^2 -tan(raizx)raizxcdot12raizx

Passo 5

Simplificando cada termo:
no primeiro ,3x^2x^3=3x,
e no segundo ,12raizx,raizx=12x.
Portanto
ddxintegralraizx^x^3tan(y)y,dy =3tan(x^3)x-tan(raizx)2x

Resposta

ddxintegralraizx^x^3tan(y)y,dy =3tan(x^3)x-tan(raizx)2x

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