Seja V o espaço vetorial real dado pelas funções contínuas no intervalo [0,2 pi].
(a) (O, 6) Mostre que <f, g>=integral0^2 pi f(x) g(x) d x é um produto interno em V.
(b) (0, 6) Exiba dois vetores não nulos ortogonais em relação ao produto interno dado no item (a).
(c) (O, 6) Considere [f, g]=integral0^2 pi f(x) g(2 pi-x) d x. Então [f, g] define um produto interno em V ?

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial real V das funções contínuas em [0,2pi] e pede:
(a) mostrar que
lang<= f,grang<= = integral0^2pi f(x),g(x),dx
é um produto interno em V;
(b) exibir dois vetores não nulos e ortogonais segundo esse produto;
(c) verificar se
[f,g] = integral0^2pi f(x),g(2pi - x),dx
também define um produto interno.
Para resolver vamos usar as propriedades de integrais definidas (linearidade, simetria do integrando e positividade de quadrados).

Passo 2

Verificamos as três propriedades exigidas para lang<=cdot,cdotrang<=:
1. Positividade definida:
lang<= f,frang<= = integral0^2pi f(x)^2,dx ;>=; 0,
com igualdade exata se, e somente se, f(x)^2=0 em todo [0,2pi], i.e.\ fequiv0.
2. Simetria:
lang<= f,grang<= = integral0^2pi f(x),g(x),dx = integral0^2pi g(x),f(x),dx = lang<= g,frang<=
3. Bilinearidade (linearidade em cada argumento): para quaisquer a,bin R e f1,f2,gin V,
lang<= a f1 + b f2,;grang<= = integral0^2pil(a f1(x)+b f2(x)r),g(x),dx = alang<= f1,grang<= + blang<= f2,grang<=,
e analogamente na segunda variável.
Portanto lang<=cdot,cdotrang<= satisfaz positividade, simetria e bilinearidade, ou seja, é produto interno.

Passo 3

Para (b) basta escolher duas funções não nulas que produzam integral zero. Um exemplo clássico são
sin(x) e cos(x). De fato,
integral0^2pisin(x)cos(x),dx = tfrac12integral0^2pisin(2x),dx = tfrac12l[-tfrac12cos(2x)r]0^2pi =0
Elas são não nulas e ortogonais.

Passo 4

Analisamos agora [f,g]. A simetria e a linearidade seguem do mesmo tipo de argumento de integral (troca de variável t=2pi-x mostra que [f,g]=[g,f] e a integral é linear em cada função).
Porém, para positividade definida tome f(x)=x-pi. Então
[f,f] = integral0^2pi(x-pi)l((2pi-x)-pir),dx = integral0^2pi(x-pi)(pi-x),dx = -integral0^2pi(x-pi)^2,dx <0
Como [f,f] pode ser negativo, falta positividade definida, e [,cdot,,,cdot,] não é produto interno.

Resposta

(a) lang<= f,grang<= é um produto interno em V.
(b) Por exemplo, sin(x) e cos(x) são não nulas e ortogonais.
(c) [f,g] não define produto interno, pois falha em positividade definida.

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