Seja
o espaço vetorial real dado pelas funções contínuas no intervalo
.
(a)
Mostre que
é um produto interno em
.
(b)
Exiba dois vetores não nulos ortogonais em relação ao produto interno dado no item (a).
(c)
Considere
. Então
define um produto interno em
?
(a)
(b)
(c)
Passo 1
O enunciado define o espaço vetorial real
das funções contínuas em
e pede:
(a) mostrar que
(a) mostrar que
é um produto interno em
;
(b) exibir dois vetores não nulos e ortogonais segundo esse produto;
(c) verificar se
(b) exibir dois vetores não nulos e ortogonais segundo esse produto;
(c) verificar se
também define um produto interno.
Para resolver vamos usar as propriedades de integrais definidas (linearidade, simetria do integrando e positividade de quadrados).
Para resolver vamos usar as propriedades de integrais definidas (linearidade, simetria do integrando e positividade de quadrados).
Passo 2
Verificamos as três propriedades exigidas para
:
com igualdade exata se, e somente se,
em todo
, i.e.\
.
e analogamente na segunda variável.
Portanto
satisfaz positividade, simetria e bilinearidade, ou seja, é produto interno.
Passo 3
Para (b) basta escolher duas funções não nulas que produzam integral zero. Um exemplo clássico são
e
. De fato,
Elas são não nulas e ortogonais.
Passo 4
Analisamos agora
. A simetria e a linearidade seguem do mesmo tipo de argumento de integral (troca de variável
mostra que
e a integral é linear em cada função).
Porém, para positividade definida tome . Então
Porém, para positividade definida tome
Como
pode ser negativo, falta positividade definida, e
não é produto interno.
Resposta
(a)
é um produto interno em
.
(b) Por exemplo, e
são não nulas e ortogonais.
(c) não define produto interno, pois falha em positividade definida.
(b) Por exemplo,
(c)