Resolva pelo método de separação de variáveis:
lut t=c^2 ux x u(0, t)=0, u(L, t)=0 u(x, 0)=x(L-x) ut(x, 0)=0

Passo 1

O enunciado pede a solução de
utt=c^2uxx em 0<x<L, com condições de contorno
u(0,t)=0, u(L,t)=0
e condições iniciais
u(x,0)=x(L-x), ut(x,0)=0.
O método de separação de variáveis nos diz para buscar soluções da forma
u(x,t)=X(x),T(t),
levando a um problema de autovalores em x e equação harmônica em t.

Passo 2

Separamos as variáveis:
T''(t)c^2T(t)=X''(x)X(x)=-lambda
com lambda>0. O problema espacial fica
X''+lambda X=0, X(0)=0,;X(L)=0,
cuja única família não-trivial é
lambdan=l(npiLr)^2, Xn(x)=sin!l(npi xLr), n=1,2,3,dots
No tempo, cada modo satisfaz
Tn''+c^2l(npiLr)^2Tn=0
com solução
Tn(t)=Ancos!l(npi c,tLr)+Bnsin!l(npi c,tLr)

Passo 3

A combinação linear geral é
u(x,t) =sumn=1^inftyl[Ancos!l(tfracnpi c,tLr) +Bnsin!l(tfracnpi c,tLr)r] sin!l(tfracnpi xLr)
Da condição inicial ut(x,0)=0 vem Bn=0 para todo n.
Da condição u(x,0)=x(L-x) obtemos
x(L-x) =sumn=1^infty Ansin!l(tfracnpi xLr)
Os coeficientes An são os coeficientes da série de senos:
An=2Lintegral0^Lx(L-x),sin!l(tfracnpi xLr),dx

Passo 4

Calculamos
In=integral0^Lx(L-x)sin!l(tfracnpi xLr),dx =2L^3l(1-(-1)^nr)n^3pi^3
Logo
An=2L,In =4L^2l(1-(-1)^nr)n^3pi^3
Note que 1-(-1)^n=0 se n é par e =2 se n é ímpar.
Portanto só aparecem modos ímpares, com
A2k+1=8L^2(2k+1)^3pi^3.

Passo 5

Substituindo de volta em u(x,t), obtemos a série de Fourier:
u(x,t) =sumk=0^infty 8L^2(2k+1)^3pi^3 cos!l((2k+1)pi c,tLr) sin!l((2k+1)pi xLr)

Resposta

u(x,t) =sumk=0^infty 8L^2(2k+1)^3pi^3 cos!l((2k+1)pi c,tLr) sin!l((2k+1)pi xLr)

Exercícios relacionados