Resolva pelo método de separação de variáveis:
Passo 1
O enunciado pede a solução de
utt=c^2uxx em
0<x<L , com condições de contorno
u(0,t)=0 ,
u(L,t)=0
e condições iniciais
u(x,0)=x(L-x) ,
ut(x,0)=0 .
O método de separação de variáveis nos diz para buscar soluções da forma
u(x,t)=X(x),T(t) ,
levando a um problema de autovalores emx e equação harmônica em
t .
e condições iniciais
O método de separação de variáveis nos diz para buscar soluções da forma
levando a um problema de autovalores em
Passo 2
Separamos as variáveis:
com
lambda>0 . O problema espacial fica
cuja única família não-trivial é
No tempo, cada modo satisfaz
com solução
Passo 3
A combinação linear geral é
Da condição inicial
ut(x,0)=0 vem
Bn=0 para todo
n .
Da condição u(x,0)=x(L-x) obtemos
Da condição
Os coeficientes
An são os coeficientes da série de senos:
Passo 4
Calculamos
Logo
Note que
1-(-1)^n=0 se
n é par e
=2 se
n é ímpar.
Portanto só aparecem modos ímpares, com
A2k+1=8L^2(2k+1)^3pi^3 .
Portanto só aparecem modos ímpares, com
Passo 5
Substituindo de volta em
u(x,t) , obtemos a série de Fourier: