Exercício 7. (D. 6, ex.2.8) Calcule a transformada de Fourier das funções abaixo: tal que , se e é uma função seccionalmente linear (o gráfico de será um triângulo com centro em 2)
Passo 1
O enunciado pede a transformada de Fourier de uma função triangular centrada em , com altura em e suporte em . O conteúdo que vamos usar inclui a definição da transformada
a propriedade de deslocamento e o cálculo de uma integral de função par.
Passo 2
Primeiro escrevemos de modo explícito. Como o gráfico é um triângulo de base e altura , centrado em , temos
Passo 3
Note que f(x)=g(x-2), onde
g(u)= 1 - |u|, & |u|<= 1, 0, & |u|>= 1
Pela propriedade de deslocamento da transformada de Fourier,
hat f(omega) =integral-infty^inftyg(x-2)e^-iomega xdx =e^-iomegacdot 2integral-infty^inftyg(u)e^-iomega udu =e^-i2omega,G(omega),