Exercício 7. (D. 6, ex.2.8) Calcule a transformada de Fourier das funções abaixo:
f tal que f(2)=1, f(x)=0, se |x-2| >= 1 e f é uma função seccionalmente linear (o gráfico de f será um triângulo com centro em 2)

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Fourier de uma função triangular centrada em 2, com altura 1 em x=2 e suporte em [1,3]. O conteúdo que vamos usar inclui a definição da transformada
hat f(omega)=integral-infty^inftyf(x)e^-iomega x,dx,
a propriedade de deslocamento e o cálculo de uma integral de função par.

Passo 2

Primeiro escrevemos f de modo explícito. Como o gráfico é um triângulo de base 2 e altura 1, centrado em 2, temos
f(x)= 1 - |x-2|, & |x-2|<= 1, 0, & |x-2|>= 1

Passo 3

Note que f(x)=g(x-2), onde
g(u)= 1 - |u|, & |u|<= 1, 0, & |u|>= 1
Pela propriedade de deslocamento da transformada de Fourier,
hat f(omega) =integral-infty^inftyg(x-2)e^-iomega xdx =e^-iomegacdot 2integral-infty^inftyg(u)e^-iomega udu =e^-i2omega,G(omega),
onde definimos
G(omega)=integral-infty^inftyg(u)e^-iomega udu =integral-1^1(1 - |u|),e^-iomega udu

Passo 4

Como (1-|u|) é função par, a parte imaginária da integral some, e
G(omega) =2integral0^1(1 - u)cos(omega u),du
Vamos calcular
integral0^1(1 - u)cos(omega u),du =integral0^1cos(omega u),du -integral0^1ucos(omega u),du
Em particular,
integral0^1cos(omega u),du =sinomegaomega,
e por partes
integral0^1ucos(omega u),du =usin(omega u)omega|0^1 -integral0^1sin(omega u)omega,du =sinomegaomega -1omegal[-tfraccos(omega u)omegar]0^1 =sinomegaomega+cosomega-1omega^2
Subtraindo, obtemos
integral0^1(1 - u)cos(omega u),du =1-cosomegaomega^2,
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G(omega) =2;1-cosomegaomega^2

Passo 5

Voltando a hat f(omega)=e^-i2omega,G(omega), concluímos
hat f(omega) =e^-i2omega;2l(1-cosomegar)omega^2 =e^-i2omega;4sin^2!l(tfracomega2r)omega^2

Resposta

hat f(omega) =e^-i2omega;2l(1-cosomegar)omega^2 ;=; e^-i2omega;4sin^2!l(tfracomega2r)omega^2

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