Exercício 3 (Lima, Curso de Análise vol.2). Seja U subseteq R^n aberto convexo e f: U longrightarrow R uma função diferenciável em U. Considere as seguintes cinco afirmações:
(a) |f^prime(x)| <= C para todo x in U;
(b) |f(y)-f(x)| <= C|y-x| para todos x, y in U;
(c) f é uniformemente contínua;
(d) para todo a in barU, existe lim x a f(x);
(e) se U é limitado, então f(U) é limitado.
Mostre que (a) Long<=ftrightarrow(b) Longrightarrow(c) Longrightarrow(d) Longrightarrow(e) e que as demais são falsas.

Passo 1

O enunciado está em um aberto convexo UsubseteqR^n e f:UtoR é diferenciável em U. Precisamos provar
(a)Long<=ftrightarrow(b)Longrightarrow(c)Longrightarrow(d)Longrightarrow(e)
onde
(a) lvert f'(x)rvert<= C para todo xin U.
(b) lvert f(y)-f(x)rvert<= C,lvert y-xrvert para todos x,yin U.
(c) f é uniformemente contínua em U.
(d) Para todo ainoverline U, existe limxto af(x).
(e) Se U é limitado, então f(U) é limitado.
Usaremos o Teorema do Valor Médio em segmentos (pois U é convexo) e propriedade de extensões contínuas em fechamentos.

Passo 2

Prova de (a)Longrightarrow(b).
Como U é convexo, para quaisquer x,yin U o segmento x+t(y-x):0<= t<=1 está em U. Pelo Teorema do Valor Médio há xi nesse segmento tal que
f(y)-f(x)=f'(xi),(y-x)
Tomando norma e usando (a),
lvert f(y)-f(x)rvert = lvert f'(xi)(y-x)rvert <= lvert f'(xi)rvert,lvert y-xrvert <= C,lvert y-xrvert,
que é exatamente (b).

Passo 3

Prova de (b)Longrightarrow(a).
Para xin U e qualquer vetor h pequeno de modo que x+hin U, a hipótese (b)
gllvertf(x+h)-f(x)lvert hrvertgrrvert <= C
No limite quando hto0 isso mostra que, para todo vetor unitário u,
lvert f'(x)urvert<= C,
logo a norma de operador de f'(x) satisfaz lvert f'(x)rvert<= C. Assim (a) vale.

Passo 4

Prova de (b)Longrightarrow(c).
Se lvert f(y)-f(x)rvert<= C,lvert y-xrvert, isso é justamente a definição de f Lipschitziana com constante C. Qualquer função Lipschitz é uniformemente contínua: dado varepsilon>0, basta escolher de<a=varepsilon/C para garantir lvert f(y)-f(x)rvert<varepsilon sempre que lvert y-xrvert<de<a.

Passo 5

Prova de (c)Longrightarrow(d).
Se f é uniformemente contínua em U, então toda sequência (xk)subset U que converge a ainoverline U gera uma sequência l(f(xk)r) de Cauchy, pois a proximidade xk,xell grande implica f(xk),f(xell) próximos. Assim limktoinftyf(xk) existe e, por independência da sequência escolhida, define limxto af(x). Isso prova (d).

Passo 6

Prova de (d)Longrightarrow(e).
Se U é limitado, então overline U é compacto. Hipótese (d) permite estender f continuamente a um tilde f:overline UtoR. Por continuidade e compacidade de overline U, a imagem tilde f(overline U) é compacta em R, logo limitada. Como f(U)subsettilde f(overline U), concluímos que f(U) é limitado.

Passo 7

Contraexemplo para (e, portanto, também não ).
Em , seja .
é uniformemente contínua em mas
é não limitada perto de , logo não é Lipschitz.
Isso mostra que e .

Passo 8

Contraexemplo para .
Em , tome .
Para todo existe , então vale.
Porém não é uniformemente contínua em , pois cresce sem boundar sua derivada. Logo .

Passo 9

Contraexemplo para .
Em , defina .
Então é limitado, mas não existe . Logo .

Resposta

Mostramos
(a)Long<=ftrightarrow(b)Longrightarrow(c)Longrightarrow(d)Longrightarrow(e)
e demos exemplos que impedem qualquer outra implicação inversa ou entre não consecutivas.

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