Exercício 3 (Lima, Curso de Análise vol.2). Seja aberto convexo e uma função diferenciável em . Considere as seguintes cinco afirmações:
(a) para todo ;
(b) para todos ;
(c) é uniformemente contínua;
(d) para todo , existe ;
(e) se é limitado, então é limitado.
Mostre que e que as demais são falsas.
Passo 1
O enunciado está em um aberto convexo e é diferenciável em . Precisamos provar
onde (a) para todo . (b) para todos . (c) é uniformemente contínua em . (d) Para todo , existe limxto af(x). (e) Se U é limitado, então f(U) é limitado.
Usaremos o Teorema do Valor Médio em segmentos (pois U é convexo) e propriedade de extensões contínuas em fechamentos.
Passo 2
Prova de (a)Longrightarrow(b).
Como U é convexo, para quaisquer x,yin U o segmento x+t(y-x):0<= t<=1 está em U. Pelo Teorema do Valor Médio há xi nesse segmento tal que
Prova de (b)Longrightarrow(a).
Para xin U e qualquer vetor h pequeno de modo que x+hin U, a hipótese (b) dá
gllvertf(x+h)-f(x)lvert hrvertgrrvert <= C
No limite quando hto0 isso mostra que, para todo vetor unitário u, lvert f'(x)urvert<= C,
logo a norma de operador de f'(x) satisfaz lvert f'(x)rvert<= C. Assim (a) vale.
Passo 4
Prova de (b)Longrightarrow(c).
Se lvert f(y)-f(x)rvert<= C,lvert y-xrvert, isso é justamente a definição de f Lipschitziana com constante C. Qualquer função Lipschitz é uniformemente contínua: dado varepsilon>0, basta escolher de<a=varepsilon/C para garantir lvert f(y)-f(x)rvert<varepsilon sempre que lvert y-xrvert<de<a.
Passo 5
Prova de (c)Longrightarrow(d).
Se f é uniformemente contínua em U, então toda sequência (xk)subset U que converge a ainoverline U gera uma sequência l(f(xk)r) de Cauchy, pois a proximidade xk,xell grande implica f(xk),f(xell) próximos. Assim limktoinftyf(xk) existe e, por independência da sequência escolhida, define limxto af(x). Isso prova (d).
Passo 6
Prova de (d)Longrightarrow(e).
Se U é limitado, então overline U é compacto. Hipótese (d) permite estender f continuamente a um tilde f:overline UtoR. Por continuidade e compacidade de overline U, a imagem tilde f(overline U) é compacta em R, logo limitada. Como f(U)subsettilde f(overline U), concluímos que f(U) é limitado.
Passo 7
Contraexemplo para (e, portanto, também não ).
Em , seja .
– é uniformemente contínua em mas
– é não limitada perto de , logo não é Lipschitz.
Isso mostra que e .
Passo 8
Contraexemplo para .
Em , tome .
Para todo existe , então vale.
Porém não é uniformemente contínua em , pois cresce sem boundar sua derivada. Logo .
Passo 9
Contraexemplo para .
Em , defina .
Então é limitado, mas não existe . Logo .